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Bl

DI

Ai'lfx.fx) =

F xAffx-\-

irouvcr la somme de Fx ou 2Fx c’esttrouver une autrefonction fx telle que l’on ait

-J- A’Fx £&"—ffx — 2 A P-—Jx 4- A'^xJ

-f 0(j“—a) a 3 Fx[ W- 3 fx—3M<-'fx +

i. 2 .3 l_

-J- 3A p— l fx —A^/Cc J

4- etc..,

est la loi fondamentale de la théorie des différences. Sadémonstration générale peut s’effectuer en suivant lumarche que nous avons employée au n° i 3 .

16. Il nous serait facile maintenant de trouverles dif-férences de tous les ordres d’une quantité algébriquequelconque , mais sans nous arrêter ici à des déductionsparticulières dont nous trouverons d’ailleurs plus loindes exemples, c’est ici le cas de faire remarquer que lecalcul des différences n’a pas seulement pour but detrouver les différences des quantités données, mais qu’ildoit encore pouvoir remonter de ces différences auxfonctions dont elles dérivent, lorsqub les premièresseulement sont connues. Cette distinction partage cecalcul en deux branches dont la première considère lesdifférences directes, ou les différences proprement dites,et la seconde les différences inverses ou sommes.

Ainsi, Ayx étant la différence directe de yx, réci-proquement fX est la différence inverse ou la somme deAyx.

On désigne les différences inverses par la caractéris-tique 2 j de sorte que pour exprimer que q>x est lasomme de Açx : on écrit

yx=2[Açx]

Fx=A/x

S’il est toujours facile de trouver les différences d’unequantité donnée, il n’en est pas de même des sommes ,mais ce n’est point ici le lieu de nous occuper de ce pro-blème, qui forme le but général du calcul des différen-ces inverses, ou du calcul intégral.

20. On considère encore les sommes comme des dif-férences d’un ordre négatif, c’est-à-dire qu’on attachela même signification aux caractéristiques 2.“ et A - /*; de.cette manière

2 "’tfX et à—PfX

sont des expressions identiques,

Si dans 1 rs lois {a) et ( c ), on fait l’indice négatif, elless’appliquent immédiatement aux sommes. La première,en ne considérant que les accroissemens négatifs, ce quiest le cas le plus simple, devient [d)

m (;;i-4-i) .

2"yr = m<f[x—i) H- —— 1 t{x—li)+

+ « L ( î «±^im±a) Ÿ(x _3 0+ elc „.et la seconde (e)

X"‘(Fxfx)=Fx. 2 "‘fx —m.AFx |~ 2 "‘+fx — Xffx J

|^2"'+4x— o.Z m +fx-\-4- y'x m ^—etc . r •

17. Comme il y a des différences de plusieurs ordres,il y a également des sommes de plusieurs ordres, parexemple

2 J [A’ ? x]

indique la somme seconde de A’çx. En général 2™ estla caractéristique de la somme de l’ordre m.

18. Pour remonter d’une différence quelconque à lafonction primitive, il est évident qu’il faut prendre lasomme du même ordre, et qu’on a

ai. Nous allons montrer par quelques exemples l’ap'plicatum de ces formules.! désignant toujours l’accrois*sement de la variable x, proposons-nous de trouver le 3différences successives de la quantité x n , ,

La première différence ou Ax" sera

Ax" = (x-f•!/'— x net en développant le binôme (x4-i) n

Ax n = nx n ~'i -J-

«(«—1)1 .a

x n — i i î 4*

S, m [A m fxj=<fx

19. Une fonction quelconque d’une variable étantdonnée, si on considère cette fonction comme la diffé-rence d’une autre fonction inconnue , le problème detrouver cette dernière est donc le but du calcul desdifférences inverses. Ainsi Fx étant la fonction donnée.

, n(n —1) (n —a) . .

+ ——-- x n - 3 t 3 4- etc.. •

Pour obtenir la différence seconde, puisquela loi (n), on a

A’yx = <fx — :>.ç(x4 -ï) 4- f(^4" a: 5

d'apr*