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en faisant <px=xn , on obtiendra
A’x» = x n — 2(æ-|-j> + OM-ai)",Ou, en développant les binômes,
A*J!» s x n
. n(n —il
— ix n — mx n — x i —2 —-x n —V ■
1 .2
etc.
. ■ . . , n(n —0 • .
+ x" -f- ‘inx n ~ — — x n —V -f- etc.
accroissement de la variable l’accroissement i delà facto-rielle , nous aurons
Ax m » = — x mi
Or, par la nature des factorielles
(x-fi) m »’ = (x+/) »‘. (x+mi)
x m i — x . (X-\-Cj m —' I, ‘
Ainsi, opérant la soustraction
ot en réduisant
I
A\r» = n(n—i)x n -'i* -f 6 — -x’'— i i i -\ r etc.
(jr-|—r)"*l*— x’ n '‘=(x-\-i) m —" i |"x + mi-
donc
°n trouverait de môme pour la différence troisième
A 3 *» a- n(n— i)(«_ 2 )x"- 3 i 3 +Aa:"-b'4+Bxn- 5 i 5 +etc.
eii désignant, pour abréger, par ABC etc., les cceffi-c, ens des puissances i 4 , i 5 , i fi , etc.
^-n général, la différence m ièiiie aura la forme
ir” 111 ' = mi(x-\-i) m ~ l »'#
En prenant les différences à accroissemens négatifs,cette expression devient plus simple, car on a alors
Ax m » = x m *—(x — i) m i
— (x-|-(fli— i)ï).x m — 1 *—(x—>'•'
— ».
n {n— ,)(n—a).. .(n— ni+i)x"- m i m +
+ Mx n ~ I i m + , 4-etc.
Lorsque l’exposant n est entier et positif, le nombredes termes de A m x n , diminuant d’une unité lorsque mau gmcnte d’une unité, on voit facilement que dans lecas de ni—n , on a
& m x' n = n(n — i)(n —2)... 1 d m
e t que cette différence ne contient plus la variable X .
11 suit de cette remarque, que les différences d’unordre supérieur à m sont o, ou qu’on a en général
ts m x n — o
toutes les fois que m est plus grand que n.
En donnant des valeurs particulières à n , nous au-rons
= 2 Xi-j-t 1
A\C* = 21 *
A 3 X* = Oetc. etc.
A x 3 =
A J x 3 = 6xi-J-6i lA 3 x 3 = 6< 3A*x 3 = oetc. etc.
A 2 . Proposons-nous maintenant de trouver les diffe-Wttces successives de la factorielle x m i« en prenant pour
La différence seconde étant
A\r"* ‘ = A (mi • x m 1= mi. Ax m —"‘ t
on obtient immédiatement, en vertu de l’expressionprécédente,
A ’x m ' ! =ni(ni —i)P .x m —» ».
En continuant de la même manière il est facile de voir -qu’on a en général
A n x m ‘=m(m — 1 ).. . (ni —«+1 ). i n . x"‘— n ».
Si au lieu de la simple factorielle x mt nous prenonsle binôme (a-\-x) m » nous aurons, eu considérant tou-jours les accroissemens comme négatifs ,
A(a-J-x) m » = (a-j-x) m * — («-}-.ï— i) m »
= (a-\-x-\-(ni — i)i) (a-\-x ) m — 1 »
—(a-{-x— ifaf r x ) m — 1 •
= mi(a-\-.x ) m — 1 »,
et, par suite
A n (a-\-x) mi = m(m —i)(wi— 2). . .(m —n-J-i) .i n f_(a-\-x) m — nli ,
Nous avonsfait usage de ces différences à l’article CoeV-
FICIENS INDETERMINES.
23. Les accroissemens delà variable, quenousavonsconsidères comme égaux entre eux dans les différencessuccessives, peuvent admettre, ainsi que nous le verrons