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et généralement (/)

1)1

d’où

cl(<fx) m =m($x)"‘ dyx

Si m est un nombre fractionnaire . en le représentant et par suite

( f xy

DI

=4 ,x

par - nous pourrons considérer (çx)q comme une fonc-tion inconnue ÿx de la variable x, et poser

i = (<fx) m .ij,x

i ....

(yx)<7 = -Jsx

d’où

et

a .... (fx)p = (rJ/X)?

3 .... t/j ^xy |= rfj(^x)7|

ainsi ,pelq étant des nombres entiers, on a

d | (yx)p | =i p(fx)P— * ,d<fX

d j | = q(-^x)l — 1 . dtyx

et, par conséquent,

p[qxy >— 1 . dfX=qtyr)<f— t . d'I’X ,on tire de cette égalité

4 . d+x = V - . -TT—?-—' d ? x

Mais d’après l’égalité i

P

d{$x) = d | ( yxf

et

Nous aurons donc aussi, h cause derfi=o, puisque I estune quantité constante ,

o = (fx) m . ,

et d’après la loi (é)

o == dlyxy *. ipx -)- (fx) m .d^x,

c’est-à-dire

mfox)™—' . dqx . $x = — <fX m . drpx,

d’où

= — m(fx)-i . dqx . 4>x,

mais

t ht-* a±JL

('l'X )?- 1 = | ( <p xf j = (tfX) '<

substituant dans 4, on a

(?*) 9

= .dfX.

Ainsi 1 expression (J} a lieu lorsque m est un nombre po-sitif entier ou fractionnaire.

Lorsque m e«t un nombre négatif, entier ou fraction-naire , nous pouvons poser

(fx)~ m = ^r

dipx = d | (qx)— m | et ÿx = (yx)— m .

Donc, en substituant ces valeurs dans la dernière éga*lité, ou obtient définitivement

d(<fx)— m = — m(yx )— m ~*. dfX ,

l’expression (/) se trouve ainsi démontrée pour toutes lesvaleurs entières et fractionnaires positives et négativesde l’exposant m.

Il serait facile, en employant un procédé semblable 3celui dont nous nous sommes servis à l’article Angle ?n° i3 , d’étendre cette démonstration au cas de l’expo-sant irrationnel.

ag. Il est facile à présent de trouver la différentiel)®d’une expression fractionnaire telle que , car on a

Ji =f*-(**)-

et par conséquent

d \! = ** ’ • dfX

=— i.<fX.d(ÿx)-i.d-4'X-^-('4'X)— l d# g

__ fx. dip x j dfX

~~ (ÿx) 1 , 'i'X

X dqX—tfX dl X

(■4>x) % *