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3o En substituant, dans ces expressions générales, desfonctions déterminées de x, ou peut trouver facilementles différentielles de ces fonctions. C’est ce que nousallons éclaircir par les exemples suivans.

Soit

iyx=(À-|-ar 3 ) et m =%,

. d( A-f-x'),

d(A-j-x’) = dA-f-dx* = o-\-nxdx,

rf(A+x’)i = \ ,(A-\-x')-i .ixdxxdx

— V/( A + x2 )'

Ou trouverait de la même manière

Àà6

ou a

or

donc

«IvV + x-ll

m\/ a n + xP

à cause de i —m= -- —(ire—i).Soit actuellement

(çx) ” = (a-\-bxn) m ,

°n aura

: — dcx—P

= -\-pcx—P-~ 1 .dx

pedx

x/’+ 1

donc en substituant

d [ a +v( b -^)] m =

, pc,dx

3 1 .L’expression théorique du logarithme d’un nom-bre x , d’après la base a , étant

log X — CP (x “-1).

La

d(a-\-bxn)' = m(a+bx n )'*-' .d{a+bx')

— m(a-\-bx n )" , ~~ I . nbx n ~'dx

— mnb n — I x. (a-\-bx n ) m ~' -dx.

Prenons pour dernier exemple

nous aurons d’abord

dans laquelle co représente un nombre infinimentgrand et La Je logarithme naturel de la base a (t >oy. Lo-gabithmes). La différentielle est, d’après ce qui pré-cède,

d loger — d x(a;“—

CO ! ! CO

=

_ oo_ • ,J,

“ I.a' 1 - 0 ' X dX

dx

L a.x

à cause de x a ~ l =x ~ 1

S’il s’agissait d’un logarithme naturel, on auraitLa=iet

dLx —

dx

Mais

d

K0-s)]-*(-s)

<*-£)

On aurait de même, en général,d io e fx =

32 . Cette dernièredifférentielle nous fournit le moyend’obtenir facilement celle de la fonction exponentiellea? x • En effet, faisons

et i de plug

Cl<fX—y