DI

Q u * pour toute valeur de n est une série convergentedonnant £.

En faisant n— i, on a immédiatement

2 i + i 2

La loi [q) peut ainsi, par des déterminations couve-ü! >Ues de i a quantité arbitraire n , donner des généra-tions en séries toujours convergentes d’une fonctionQuelconque F#, ce que ne peut faire le théorème deTaylor. Mais le développement des fonctions en sériesfait l’objet d’un autre article , dans lequel nous verronsQ«e le théorème de Paoli, duquel nous avons tiré la'°* (<?), n’est lui-même qu’un cas très particulier d unthéorème général dont nous donnerons l’exposition.

°yez Sérié et Technie.

46. Nous verrons ailleurs comment on etend les deve-

loppemens que nous avons obtenus pour des fonctions

d^uue seule variable aux. fonctions qui en contiennent

Plusieurs, Quant aux applications du calcul différentiel

elle s s’étendent à toutes les parties des mathématiques

e t nous renverrons également aux articles dans lesquels

d est employé. Ployez particulièrement : Accéléré,

Asy Mpt 0 t E , Choc , Cubature , Développée , Maxima ,

■^°hmale et Sous Normale, Osculatkice , Point sin-

G tJLiEa , Quadrature, Racines égales , Rectification,

Tangente et Sous-Tangente, Série, Retour des suites,

etc -> etc. Nous allons terminer en exposant son emploi

P°ur la détermination des vraies valeurs de certaines

^Pressions qui deviennent | dans quelques cas particu-liers.

47* Toute quantité fractionnaire de la forme (a')

A [x — a)’»

B;£C-a)n

dans laquelle on fait x=a, devient c’est-à-dire com-plètement indéterminée quoique sa véritable valeur soitdans ce cas (b’)

ÿ- (a-a)» —

QU elle puisse être conséquemment finie ou indéfinie

*elon

Que tii=n ou que ni est plus grand ou plus petit

Que n.

Si le facteur (aj— a) était en évidence, la détermina-ti <mde la valeur de l’expressiou (a!) n’offrirait sans douteaucune difficulté, mais il n’en est pas toujours ainsi, etc est à ramener cette expression à la forme ( l >') qne con-•iste le problème.

Suit, par exemple, la quantité

X* — ax 2 -\-aX — a 2

di ièè

dont on veut connaître la valeur, daiis le casd èx=d fen substituant a à la place de x, cette quantité devient

n 3 — a 3 -\-a 2 — a 2 „

a 2 — a 2 a

et rien ne peut nous indiquer ainsi quelle est la valeurdemandée; mais si nous remarquons que le numérateurx 3 — a 2 x-\-ax — a 2 peut se mettre sous la formé

(x —a)æ*-f-(x— a)a=[x — a)(x 2 -\-a),

et que le dénominateur est

X 2 — à 2 = (x — a)[x-\-a)

cette quantité devient

(x — a) (aü’-j-a)

(x — a ) pE-(-a)

ou

x 2 -\-a

x-\-a

en retranchant le facteur commun x=a. Or, si l’onfait dans cette dernière expression x—a , elle devient

ci 2 -\-a a(a-\- 1) a-f i

a-j-a 2 a 2 ’

et l’on peut en conclure que

X 2 — ax 2 -\-ax — a 2 a-|-i

x *—a 2 2

lorsque x=a.

Dans les expressions plus composées, où il serait im-possible de mettre ainsi les facteurs en évidence, oupourrait encore tenter de chercher le commun diviseurdes deux termes ( voy . ce mot); et une fois ce diviseurcommun trouvé, il suffirait d’en diviser les termes pourle faire disparaître. Mais ce moyen n’est pas toujourspraticable, et il est dans tous les cas beaucoup plus simpled’avoir recours au procédé que nous allons exposer.

X

Soit ^5 une quantité qui devieut J pour une valeur

particulière a , de la variable x , contenue dans chacunedes fonctions X et X'; cette circonstance indiquant l’exis-tence d’un facteur x —a commun à ces deux fonctions,nous pouvons faire

X =Y(x — a)X'=Q(a:— à)

x 2 —u

P et Q étant les deux autres facteurs. Or , en prenantles différentielles des deux membres de chacune de cm