X6i DI
expressions, d’après le numéro 26 , nous avons
d’où
quantité qui se réduit à
Q dx Q
orsqu’on fait x=a.
Ainsi, en admettant que P et Q ne contiennent plus
P X
le facteur (x — a), ~r sera la véritable valeur de =ÿ -,, dans
le cas de x=a. Si au contiaire x—a entre encore dansP et Q, ou si nous avons
P = P \x—a)
Q = Q \x-a)
4 est que les fonctions X et X' sont elles-mêmes
X =P '(*—*)»
X'= Q'(x —iij
et alors il faut prendre les différentielles seCbndes po .se débarrasser de ce double facteur; on a
d*X —d* P', (x—a) J -}*4(X— a)dx.dV-\-xclx^'d'X'—d 1 Q'.(x—a)’-)-4(x— djdx.dQ-^-xdx'Q'
et lorsque x=a
d‘X _ xdx'.V' _ P'd'X’~ xdx\Q' ~ Q'
X
c’est-à-dire la véritable valeur de ^7. Il est facile de
voir que si le facteur x —a entrait trois fois dans X etX',il faudrait prendre les différentielles troisièmes pour lefaire disparaître et ainsi de suite.
Par exemple, pour la quantité
x 3 — ax’-^-ax — a ■x’ — a’
en prenant les différentielles premières du numérateuret du dénominateur, on a
d | x 3 — ax 1 -\-ax — a * j =3 &dx — xaxdx-\-adx
d\X' — a')—xxdx
ce qui «tonne
</|x 3 —ox* + «x— o* ! b• _ 3x J — -iar-|-a
4 ? -°i "
DI
H quand x—a
3x’— xax-\-a 3rd —u’-f-rt a-j-I
xx xa x a 9
valeur que nous avons trouvée ci-dessus.
Si le facteur (x — a) était contenu un plus grandnombre de fois dans un terme que dans l’autre, la va*
X
leur de ^7 serait de la forme
X M.(x—a) m M , ,
X N. (x — a) n N 1
et pourrait être aiors infiniment petite ou infinimentgrande selon que m serait plus grande ou plus petite
que n. car si wf>«, cette quantité devient et s: ^
M , £
riK^n elledevinte —, expressions dont la première repre- x :
sente une quantité infiniment petite ou zéro, et dont laseconde représente une quantité infiniment grande. Lesdifférentiations successives font encore reconnaître cescirconstances, car en nous rappelant que lorsque fV=o,on a toujours
d/ J tD J x=o
toutes les fois que p<[*, si nous développons par la Io*
(<?) les différentielles d m X, d' n X' , nous aurons
d m X — d"> j M (x— a) m | =d"M.(x— a) m
-\-md"‘— 'M.d(x — a) m
4-
1.2
-j- etc.
-|-M.r/ m (x— a) m
d m X'— d m |N(x—«)"J =rf m N.(x—a)". .
r t ; -fit
-\-nul m — 1 N. </(x— d] n
,‘fc
4 . d’n-'X.dHx —«)" ;
»- a .„v ; ’
4* etc.
4* N.cf m (x— a) n
Or, à cause de d m K x —a) 1 » = mjn —1)... .3.l’on fait x=a dans ces expressions, la première * cduit à w[m —1)... .2. i.M.t lx m , et la secondes o*en supposant m<^n , 011 a donc
d m X nihn —1 )...2.1.AI
d"‘X'
o