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Si 6

4 > Les puissances successives des quantités dites ima-ginaires présentent des particularités remarquables quenous allons examiner. Mais comme toutes ces quantitéspeuvent s’exprimer au moyen de la seule \/—i [voy.Imaginaire), nous ne nous occuperons ici que de cettedernière.

On a d’abord évidemment

IV—ô 1 = — 1

Cependant en se servant de la règle donnée pour lamultiplication des quantités affectées de signes radicaux(Algèbre, n° 29) on trouverait

X (V / —'l=V(-^)-{—ïj=V+' ~ — 1

OU

(V'-0 , = \/(-"ô’=\/+T = =t.

et le signesupérieur-)- donnerait un résultatabsurde, carla seconde puissance d’une racine seconde ne peut êtreque la quantité primitive qui est sous le radical. Cetteambiguité du double signe ± disparait lorsqu'on em-ploie les exposans fractionnaires, car

iV—')* — {— 0 » = (— 0 '=— '•

On peut se rendre raison de l’espèce d’erreur qui seglisse dans l’application de la première règle eu obser-vant que —1 étant multiplié par lui-même, introduitdans l’expression

Vt—'X—ô = n/h ,

après la multiplication , une signification qui n’y étaitpas auparavant, celle de pouvoir avoir une racine posi-tive ou négative, et cela d’après la propriété générale

(—')’ = + 1 » (+«)*= + ',

cai après la multiplication de (—1) par (— 1), le radicaldevenant ne porte plus aucun caractère qui

puisse lui faire attribuer exclusivement l’une ou l’autrede ces générations; on peut donc alors sans erreur les luiassigner indifféremment, tandis que sous la forme—1 f la génération du résultat est terminée et ce ré-sultat ne peut être que — 1 . Or, en se servant du calculdes exposans fractionnaires on évite l’opération, qui peutinduire en erreur parce qu’on n’opère que sur les ex-posans sans toucher à la base.

Cette considération est essentielle pour former toutesles puissances paires de y/— 1 , à cause

(—i)’* =

EE

Mi représentant un nombre pair quelconque. Ainsi parla règle des radicaux , on aurait encore

= \/( :r ô 1 =V / + 7 = ± «

f

tandis que par les exposans fractionnaires ou trouve

(V/-ÔM-I )}=(—)*=+,

seul résultat satisfaisant

Nous conclurons donc que dans l’élévation aux puis-sances de la quantité imaginaire \/ —1, il faut, pouréviter les erreurs, n’opérer que sur les exposans et 11etouchera la base (—1) qu’après avoir épuisé toutes lesréductions.

5 . En suivant ces principes on trouvera pourlespuis-sanccs successives de la quantité \/— 1, prise positive-ment et négativement, les résultats suivans :

Pour la quantité -\-\/— 1

(+V ;z ^) 0 ='

(+ V-'Y=+V-'

(.+ V — 1 ) 2 = [~K—i)]ï=—1

(+ v / — 0 3 = [+(—')]’=(— 1 )'+*=;— 1 ).\/— 1

(+V—‘) 4 =[+(—>)^=(—')’=+'

(+ V —') 5 =[+(— ')^=(— 0 J+i =(+')-\/—•(+N/—ô 6 = L+(—•)]*“=(—') 3 =—'

etc. etc.

Pour la quantité — [/— 1, ou (—1). y/—1(—

i—v'—') '^-v^

(- v/-o*=(-i )’-(-»)M+i)(->)=-i(- V—i )*=(-1 )K (-1)l-(-1).(-1)y/-. =Z =+V—'

(— y/H7)4 = (_ I )4.(— I )!=(+1 )(_,)*—+,

(—V / —^) 5 =(—O 5 •(—')’=(—i)(+V/—*)=—v / " : '''

')*•(-' )S - (+1 )(- « ) 3 = -1

etc. etc.

En comparant les résultats

(—y/-^ 7 )°=i

(+\/—ô‘=+Y/—> (-y/=,).=_y/-«(+v/-ô’=-i’(+y/—y/-^

I

■*K

I