EL

54$

EL

Ainsi dans le cas particulier

5 3 =ia5,

on dit que 1 25 est la troisième puissance de la base 5.

1. Tant qu’il s’agit de nombres exprimés par deschiffres , l’opération de 1 élévation aux puissances nepeut s’exécuter que par une suite de multiplications , oudu moins c’est encore le moyeu le , lus expéditif d’obte-nir le résultat. Par exemple pour trouver la quatrièmepuissance de 12 , ou dira

i2Xia=i4i

i44X‘2=>7'i8

I 728 X 12 — 20736

e t on en conclura

i2 4 =2or3G.

Mais lorsque les quantités sont exprimées par deslettres,ou sont ce qu’on appelle des quantités algébriques,leur élévation aux puissances donne lieu à des transfor-mations particulières et reçoit des lois importantes quenous allons exposer.

2 . La puissance ni d’une quantité quelconque A étante xprimécpar A m , nous avons vu (Algèbre n°24) que celtepuissance dans le cas de ;;t= o est égale à l 'unité et quedans le cas de m négatif, elle est équivalente à une frac-tion dont le numérateur est l’unité et dont le dénomi-nateur est cette même puissance prise en changeant le£ >gne de l’exposant,c’est à-dire qu’on a

A°= 1 , A — m —

’ A"'

Nous avons vu également (Algèbre, n« 26) que la puis-sance n d’une quantité A m s’exprime en multipliant lesdeux exposans ou que l’on a

(A m ) n = A "” 1

et généralement, quel que soit le nombre des facteurs,^A’ B .B n .C' , .DA’....J s =A'”*.B n, < O*.Dp*. ...

Ainsi en appliquant ces formes générales à des quantitésmnnoincs quelconques , on pourra simplifier considéra-blement l’expression de leurs puissances. C’est ainsi, parexemple, qu’on trouvera sans difficulté

(a 1 . i > 3 . c 4 ) 5 = a 10 . b li . c 10d 3 .P.c]' a l6 .b ,a .c 1

ce qu’on peut aussi exprimer par

b m . cP J . dl‘ . d—i.N»

en se servant d’exposans négatifs.

3. Nous avons vu également (Algèbre, n 0 27 ) qu’unepuissance quelconque m d’une quantité irrationnelle

R

\/A pouvait s’exprimer par

m

C4 m ou par A"

Si donc le nombre m était plus grand que n , le résul-tat pourrait se décomposer en deux facteurs dont l’unseulement conserverait la forme radicale. Par exemple,m étant plus grand que n, divisons mparn et nommonsq le quotient de cette division et r le reste, nousaurons

m . r

et par conséquent (Algèbre, n° 20)

m r r

A" = a' 7 * 7, = kl . A 7, = A*. yk r

Dans le cas de /~o, c’est à dire , dans le cas où la divi-sion de m par h se fait exactement, la puissance devientsimplement kl.

En appliquant cette règle aux puissances particulières

on obtient les transformations suivantes

£ Y/a j = 2’ = 2* = 4

[ 3n5 s. , 3_ 3_

y/8 = 8 3 =8'+3 =8.v/8’=8.v/C>4

[ \/9 J = 9 6 = 9’+® = 9 ,+ * = 9'-V / 9=8i-3

= 243

p7 8 .fc 5 .c1

L 4'* J

en général

lürt’

iz.a 1 * .b'°<?

Nous obtiendrons de la môme manière les transforma-tions plus générales

[C^rFx] 7 =[A.BYC^ = [A.B*.cJ' <;

- J X [*.►.€]!

3,_

= A».BLC*.V/A.B>.C

« __

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f a m .h n .cp .dv~\‘ _

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