\/M=(+i).\/ M

=(-i).V/M

=(+v'-')V M '

=(-V / - , )VM

On verra ailleurs (voy. Extraction des racines)qu’une racine quelconque admet autant de valeurs dif-férentes qu’il y a d’unités dans son exposant. Nous n’a-vons abordé cette question qui n’est point ici notre objetque pour faire observer que l’éçalité de deux puissancesdont les exposans sont égaux n’entraîne pas nécessaire-ment celle des bases, ou que de l’égalité

( ni nx ')'=/«•*-)- 4 ni^nx* -j- G/n’n’x 4 -|-4

V

Nous avons donné au mot binôme d’autres applica-tions de la formule de Newton.

9. Le développement de la puissance md’un trinômepeut £e déduire facilement de celui du binôme. En effetsoit a-J-t-j-cun trinôme quelconque, supposons

a-\-b—p

et nous aurons

(a e)/r»=(p-|-c)’*

mais d’après la formule de Newton

1

(A.)"‘=(B/“

, on ne peut généralement conclure A=B.

8. L’élévation des monomes à une puissance quel-conque pouvant toujours s’effectuer d’après les règlesprécédentes, nous allons passer à celle des polynômes.

Considérons d’abord le binôme (a-\-b), l’expressiongénérale de sa puissance ni étant donnée par la for-mule de Newton. (Voy. Binôme de Newton)

, ... . », m(m —1) , .

(a-\-b) m = a m -\-m a m ~' b-\ --— a"*—’i’-j-

. m(m — 1 ) (m — 2) ,,,

H---LL- L a m — l P-\- etc..

1 1 . 2.3

en substituant à la place de ni la valeur numérique decet exposant 011 obtiendra immédiatement la puis-sance correspondante, ou le produit des binômes(n-|-Z>).(rt-|-Z>).(a-|-&)...ctc. Soit par exemple, le binôme/n-J-nx’ à élever à la quatrième puissance. Nous ferons/ 7 i= 4 ,, ce qui nous donnera d’abord pour les coefficiens :

m

m!m —1 )

1.2

w(ni —1 )(m — >.)

1 2.3

m(ni —1 )'ni —2 )(m — 3 )

1. 2. 3 . 4

m{m — 1 )(m —>.)(m —3 (ni — j)

1.2. 3.4 • 3

Tous les autres coefficiens devenant o, à cause dufacteur m— 4=0 qui entre dans chacun d’eux, nousvoyons d’abord que le développement cherché s’arrêteau cinquième terme; faisant donc a=ni et b=nx *, nousaurons

= 4

= *- 3 =G1 . ’2

4 3.2

= .‘.t :3 = 4

_ 4 _ 3 _ 2 m— 1. 2 . 3.4 ^

4 ■ 3 2.1.0i.2. 3 .4 *5

... . . m(rn —1) .

(p-\-Cj m =p m -\-ntp"’— J C -j" — , ' n p» 1 »—«c«-{-

1.2

+

m(m —1 )(m —2)1 . 2.3

pm— 3 c 3 _j_ c t c- ..

Remettant dans ce développement a-\-b à la place de^»il devient (ni)

(a-\-b-l r cy n —(a-\-b) m -\-m(a-\-b) m — ‘.c-j-

+

m (ni — 1 )

1.2

etc....

Or , en vertu de l’expression générale , on a

, 1 , . m (ni —1) . .

(a- f- b) m —a"‘-\-nia m —'b -j-i-- a m — , b 1 -j-etc...

1.2

‘=a m — —1 )a m —'b-\-

. (ni — 1) (;;;—2) ,, ,

4 - ---- ‘ a”- 3 b'+ etc...

’ 1.2 1

(a-\-b) m —*=.a m ~''-\-(ni — i)a m — 3 b-\-

(,n — 2 ) (»!•— 3 ) .

+ --—-- a™-*b’4-c te...

1.2 1

etc.... etc.

Substituant ces valeurs dans l’expression (ni ), et ordo®liant par rapport aux puissances de a, on aura po° r ^développement de la puissance ni du trinômel'expression générale (//)

(a 4 -b 4 -c) m =a m -\-ina m — 1 b -\-'AüL —— ’i'-f etc.-’

1.2

-(-//ta"'— 'c -\-inlni — \)a‘"— 1 bc-^- c ^ c "‘‘

, mhn —1) . ,

J-’c»+ ctc

1.2

+etc-'

Pour donner un exemple de l’application de cett® ^mule, faisons wi= 3 , alors nous aurons

-j-(nx , )- s

”A m — ni(m—t)( ni^}s:l_ 3 , m{m ij—o, 1>!ï# 3

1.2