EL

et par suite

(a-J-Z»-J-t') 3 =« 3 -j-3n *b-\-3ab' -f- Z» 33u’ c-\-Gàbc-\~ 3 /) 5 c-j-3at’+3Z<f 2

+ c 3

«o. Ou pourrait, en suivant la même marche, trouverle développement de la puissance d’uu tétruuome et gé-néralement celui d’uu polynôme quelconque; mais cette*nai‘che entraînerait de longs calculs et aurait eu outre1 inconvénient de ne pas conduire à des expressions dontles termes puissent se déduire les uns des un très, ce que

i> .

°n voit déjà pour le trinôme. Nous allons en consc-ience aborder la question dans toute sa généralité, et< ‘M ) °ser la loi générale du développement de la puis-sa ‘ice quelconque ni d’un polynôme quelconque.

Théorème. La puissance ni d’un polynôme a-j-4-f-c4-d-}- c _j. c tc.... f est égale à la somme des produits re-présentes par toutes les combinaisons ni à ni des lettresa > b,c, d, etc. avec permutations.

^ théorème est une conséquence de ce qui a été dé-montré pour la formation des puissances d’un binôme.

Binôme.

> ces combinaisons sont évidemment

a m , a m ~ l b, a' n — 1 b*, a m ~ 3 b 3 , etc.b «, b m ~'c, b m ~'c x , etc.a m—*bc, a m — 3 b , c, n"‘~ Ift’c’, etc.a m — s bcde, a m — 6 b*cde, etc.

° u Pl us généralement

a m . b". c°. d°. e° ,J °... etc.a m—i .b*.c” .<P .e” J*.. .etc.

».Z>'.c*.rf-. e *./*... c t c .

a m—3 . le . c i. . e ® Jb etc

etc. etc.

a° . but . c° . d° . e» ,f> ... etc.a°. &»*—i,c*. d° .e°•/“.. .etc.

«°. b' n *. c l . cl'. e»./"... etc.a°.b'»—i.c'.d'.e' ./*>.. .etc.

ett. etc.

^signant donc par n, o, p, <j, r, s, etc. une suite deNombre» tels qu’on ait

EL MÙ

et comme le nombre des permutations d’un pareil groupeest

i (ni — il(/« —'.>.)( ni —3)(»i—4 )( nl —5) ■

fori

H*=7l-|-0-j-p-f-7-)-/ , +f-)-CtC.

*ne générale de ces combinaisons seraa" .b°.CP.dé,e r .J i .. .etc.

n(n— î).. î Xo(o— 1 X/ J (p— 1 •• 1 X?)? -1 Xetc .

on aura pour le terme général de la puissance m d’unpolynôme quelconque l’expression,

rnlni —1 V/>;— ‘xMni — 3) .... i . .

_i_!_Il- 1 - .an.b n Cp.dn etc.

n(n —ij ,i X«(o-1)• i X/ J (A*—‘J - * 1 X ulc -

au moven de ce terme général, en donnant successive-ment aux quantités/!, o, p, c], etc. les valeurs dont ellessont susceptibles, on formera tous les termes qui com-posent cette puissance.

i i. Pour indiquer au moins par un exemple l’appli-cation de cette formule, supposons qu’il s’agisse d'éle-ver le trinôme a-\-b-\-c à la quatrième puissance. Dansce cas les quantités indéterminées n, o, p, q, etc. se ré-duisent à trois et le terme général devient

m(m —i )lni — '.>.)(m —3). . . . i .

--—-—- .an.bo.cp

n(n— i)...iXov°—')"-' Q ; — O’" 1

dans lequel m=n-\-o-\-p

On détermine n, o, p pour chaque cas particulier deta manière suivante

3=3+o+o

3=a-|-i-}-o 3=o-j-3-f-o

3=2-)-0-f-I 3=0-j-2-f-I

3=i-)-i-1-i 3=o-|-i -(-2

3 =i-}- 24 -o 3=o-j-o-)-3

3^=t-f-0-|-2

donnant ensuite ces valeurs aux lettres n, o, p, on aura

3.2.1,, ,

3.2.1

-- a 3 .b°.c°—a s

- — t

3.2. 1

1 . ‘2 . I

3 LÏLLa*.b'.c 0 ^3céb

3.2.1

•- C

Ü .1.1

3.2.1

3.i.i , ~

3.2.1

- <i % .ü°.c l =3a 2 c

— — (

2. i. !

—^—a'.b'.c'^Gabc —' î —a°.b'.c‘=3bi+

— 2 - I rt , .Zi\c°=3rtZr‘ a°.b°.c 3 =c 3

i •>.. I 3 • I

d’où l’on conclura

(a-{-b-{-c / 3 =a 3 -\-3iéb-\-3ab*-\-b 3

-j-Sa’c-^-üaZic-j-SZi’e

-\-3ac ,, -\-3bc‘

+c 3

résultat identique avec celui du numéro g.