;

5X6

EO

EQ

Divisant de la même manière le second quotient ( s ) parle binôme (x —c , c étant le nombre qui réduit ce quo-tient à zéro, et poursuivant ainsi jusqu’à ce que le der-nier quotient soit du premier degré , nous trouveronsévidemment (t)

x m -(- A,x m — 1 + etc. = (x— a)(x — b)(x — c)...(x — m)

le nombre des binômes (x— a ), (x — b) etc. étant m.

iG. Il résulte de l’équivalence générale (t) que, le pre-mier membre étant nécessairement divisible par chacundes binômes , les quantités a, b ,c, etc. sont toutes desracines de l’équation ( p ), et que cette équation est satis-faite en faisant indifféremment X = a, ou x = b, ou.X—c, etc. Ainsi, ces quantités étant au nombre de m,une équation admet autant de racines différentes qu'il ya d’unités dans le nombre qui marque son degré.

Une considération très-simple prouve qu’il ne peutpas y en avoir davantage: en effets’il existait un nombrep autre que a, b , c , etc., capable de réduire à zéro lepremier membre de l’égalité ( t ) en le substituant à a:, ilfaudrait aussi que la même substitution rendît le secondmembre égal à zéro , ou que l’on eût

(p—d) (p—b ) ( p—c ).. .{p—m)=o.

Or, un tel produit ne peut devenir o qu’autant qne l’unde ses facteurs (p — a) par exemple, ne devienne o ;mais si p — a=o on a p=a, et ainsi de même pour tousles autres facteurs : donc ce produit ne peut devenir o,qu’en faisant p égal à l’une des quantités a, b, c, d, etc.et ces quantités seules sont les racines de l’équation (p ),17. On sait qu’en formant le produit de m binômes( x — a), {x — b), (x — c ), etc., [Voy. Multiplication)on obtient une expression de la forme

Or, le produit des m binômes ( x — a), {x — b), ( x—<*)>etc., devant être identique avec le premier membre del’égalité ( t ), nous avons

A,=:-AA = BAî=— CA<= DAs:::—Eetc.= etc.

D’où il résulte la proposition générale suivante : Dansune équation d’un degré quelconque

x m -\-k t x m — *-|-A i .x m—;, -l~A3X n, ~ 3 -j-ctc.. .-|-An,=o.

Le coefficient du second terme est égal à la somme desracines prise avec un signe contraire ; celui du troi-sième, à la somme de leurs produits deux à deux; celuidu quatrième, à la somme de leurs produits trois à troispris avec un signe contraire, etc., etc., et enfin le der-nier coefficient est égal au produit de toutes les racines,pris avec le même signe si l’équation est de degré pair,et pris avec un signe contraire, si l’équation est de degréimpair.

Par exemple, si nous désignons para, 0, y les troisracines de l’équation du troisième degré '

x 3 -j-px’-f-<7x-f-r=o,

nous avons

p=— (a-f/ 3 +y)

q=*P+*y+P 7

r= —ajSy.

x m —Ax m ~’-f-Bx" 1- ’— Cx™— 3 -)-etc.... (— 1 ) m Z

dans laquelle le premier coefficient A est égal à la sommedes seconds termes des binômes, savoir :

A = a-|-û-(-e-f-d+etc.. *

Le second coefficient B est égal à la somme des produitsdeux à deux des mêmes seconds termes, savoir :

B=aZ>-}-ae-{-afi?+etc...-j-ic-f-W-}-etc...

Le troisième coefficient C est égal àla somme des pro-duits trois à trois, des seconds termes, savoir :

C = abc, abd, cbd , c6e-j-ctc....

et ainsi de suite jusqu’au dernier cocffic:entZ,quiest égalau produit de tous les seconds termes, savoir :

Z=r a.b.c.d, . . .m.

18. Nous avons déjà dit qu’on appelle résoudre uneéquation trouver les valeurs de ses racines; ainsi lep 1 ’ 0 'blême de la résolution des équations, pris dans toute s*généralité, consiste dans la détermination des quantitésa,b,c, d, etc., à l’aide des coefficiens A,, A», A,» etc 'Ce problème est encore au-dessus des forces de la scienc eet toutes les tentatives des mathématiciens sont venue 5échouer contre les équations du cinquième degré. C ependant si l’on ne peut obtenir une expression théorifi aegénérale des racines des équations d’un degré supéri eUrau quatrième, les divers procédés d’approximation °nété portés à une perfection telle qu’on peut considé> ele problème comme suffisamment résolu pour tousbesoins de la science. Voy. Approximation. Voy • aRacines .

En 1812, M. Wronski a publié, sous Zc titre delution des équations de tous les degrés , un °P U p a0 ,contenant une solution de ce fameux problème.