EQ

donnons à tous les groupes dont les variations sont ennombre pair, le signe + et aux autres le signe —;plaçons ensuite l’accent prime sur la seconde lettre dechaque groupe, l’accent seconde sur la troisième et l’ac-cent tierce sur la quatrième , et nous aurons pour le dé-nominateur commun des valeurs de x, y, z et u l’expres-sion

AB'C"D”-AB'D"C"+AJ)'B"tr-AD'C"B''+AC'D"B’"—AC'B , 'D"-|-BA'D"C"—BA'C"D"-)-BC'A"D"'—BC'D"A'"-l-BD'C r 'A"—BD' A"C“'+CA'D"B"'—CA'B , 'D"'+CB'D ,, A'"—CB'A"D"+CD , A"B'—CD'B’'A , "+DA'C’'B"—DA'B''C"+DB'A"C"—DB'C"A"'+DC'B''A"'—DC'A'B"’

En changeant successivement dans cette expressien A,E > C , D en E , on formera les numérateurs des valeursde x , y, z et u.

La démonstration de cette formation symétrique desValeurs des inconnues, qui rend inutiles les procédés d’é-hniination, ne peut trouver place ici ( voy . dans les mé-moires de l’Académie des Sciences pour 1772, a* partie,u n écrit de La Place sur cet objet), nous devons seule-ment ajouter , pour terminer tout ce qui concerne lese< luations du premier degré, que ce que nous avons dite Xeniple 3 et 4 » peut s’appliquer à un nombre quel-conque d’équations et d’inconnues , c’est-à-dire, i° quele problème est indéterminé lorsqu’on trouve des valeurs

delà forme x= - et 2 0 qu’il renferme des conditionso

M

contradictoires lorsqu’on en trouve de la forme —

» 4 - Quoique les dénominations quarrée, cubique , etQuadratique données jadis aux équations des second,tl '°isième et quatrième degrés aient beaucoup vieilli,n °us les avons conservées dans notre dictionnaire afin dePouvoir renvoyer à chacun de ces mots en particulierL résolution de l’équation à laquelle il s’applique. Nousn °us contenterons donc, dans le présent article, d J exami-ner ! es propriétés communes à toutes les équations supé-Il eures au premier degré.

1 5 . D’Alcmbert a démontré le premier qu’il existe tou-jours une quantité a, rationnelle ou irrationnelle, réelle0u imaginaire telle qu’en la substituant à la place de xdmis une équation d’un degré quelconque (p )

1 ^'"-f-A.a:"'—»-f-A a x'«—’-j-etc. ..-f-Àm =0

le n • •

premier terme se réduit à zéro, ou ce qui est lamême chose, que cette équation a nécessairement unea cine n. Voy. les Mémoires de Berlin 1746. Depuis,cette proposition importante a été démontrée de plusieursmanières (voy. Complément des élémens d’algcbre de

EQ UÜ

Lacroix) et nous devons la considérer comme suffisam-ment établie pour pouvoir fonder ici sur elle la théoriedes équations.

Soit donc a la racine de l’équation générale (p), sil’on divise par le binôme ( x — a) le premier membrede cette équation, et que l’on poursuive l’opérationjusqu’à ce que l’on trouve un reste qui ne contienneplus x , en désignant le quotient par Q et ce reste parK., on aura

x m +k,x m — ‘-(-etc.. .-{-An» = ( x —a)Q+R.

Or, lorsqu’on fait x=a , le premier membre de celteégalité se réduit à zéro , il doit donc en être de mêmedu second membre, et l’on a

(a —«)Q-j-R=o ou R=o.

Ainsi le reste de la division est nécessairement égal àzéro , c’est-à-dire que lorsque a est racine de l’équation(p), le premier membre de cette équation est exactementdivisible par le binôme ( x — a). On prouve aisément laréciproque de cette proposition , ou que a est racine del’équation , lorsque le premier membre est exactementdivisible par le binôme ( x — a).

Ceci posé, d’après les règles de la division, le quotientQ étant de la forme ( q)

■-f-B.a;'”—“-j-B^-’-j-etc.. .-j-B m _,nous avons l’égalité (n)

*+etc.. =(x — a) | * m — 1 +

B t x m — ’-J-etc.. |

Mais, en vertu de la proposition fondamentale, il existeaussi une quantité b réelle ou imaginaire , dont la sub-stitution à la place de x rend ( q ) égal à zéro, et par con-séquent, d’après ce qui vient d’être démontré, la quan-tité ( q ) est exactement divisible par le binôme ( x — b ),Opérant la division nous aurons un quotient de laforme (s)

ajm—>^-C I x m—3 +C,x m — 4 +etc...-f-C m —,et l’égalité (n ), pourra être mise sous la forme

x m -\-k l x'*— , +A j æ' B - 1 -)-etc.. .=(x— a){x—b) j x m ~ %

-j-CiX'*— 5 -f-etc.. j.. |

»