EQ

Ainsi après avoir divisé le premier membre de touteéquation réciproque de degré impair par le binôme 1on obtiendra une autre équation réciproque de degrépair qu’on résoudra par les procédés exposés ci-dessus.

Quant à l’équation réciproque de degré impairdans laquelle les coefficiens des termes à égale distancedes extrêmes sont égaux et de signes contraires, on voitaisément qu’elle a une racine =i, et qu’il faut par con-séquent la diviser par oc — i, pour obtenir une équationréciproque de degré pair.

42 . Si l’équation est de degré pair et que, son termedu milieu manquant, les coefficiens des ternies à égaledistance soient égaux et de signes contraires, elle a uneracine = 1 , et en la divisant par le binôme x — 1 , onobtient une équation de degré impair dont les coefficienssont égaux et de mêmes signes, laquelle a , par consé-quent, une racine ==— 1 , et est divisible par .r-j-i.Donc la proposée estdivisible par [x —i)(x-}-i)=a; 1 — 1 ,et le quotient est une équation d’un degré pair , moindrede deux unités, résoluble de la même manière que celledu numéro 4*-

43. Nous avons déjà vu (n° 23) un exemple de réso-lution d’équation réciproque , nous nous contenteronsdonc ici d’appliquer les règles précédentes à l’équation

x 6 -j-3x 5 -\-^x /i — -ix* — 3x —1 = o

Cette équation ayant une racine =1 , divisons son pre-mier membre par x —1 et nous obtiendrons pour quo-tient x 5 -J-4ar 4 -j-6x 3 -f6x 2 -j-4^+i ,lequel, égalé à zéro,n °us donnera l’équation réciproque du cinquièmedegré

a: 5 +4'Z; 4 -f-6x 3 -f-6 x^-^-^x-^- 1 =0

Cette dernière ayant une racine = — 1 , divisons sonPremier nombre par x-\-i , et nous obtiendrons définit'vement l’équation du quatrième degré

.r' 4 -j-3.r 3 -J~3a: 1 -|-3.r-}-i =0

< l Ul nous fera connaître les quatre autres racines.

Divisons donc tous les ternies par x' 1 et rassemblonsCeux qui ont le môme coefficient, nous aurons (h)

disons maintenant

x 4- - = zx

x* -4- — = z 1 —3x 1

e t substituons dans (h), cette équation deviendra

Z’-J-Ss-}-! — o

eq m

dont les deux racines sont

_ __ - 3+\/5

2

— 3—\/5

Z =»--—

a

Or, l’équation *+ = z, ou æ*— zar+i=o,ré-

X

solue par rapport à x, donne

_ z+yz-^4

X =-

2

x _z—\A*—4

2

Substituant successivement dans chacune de ces va-leurs les deux valeurs de z, et rassemblant tous les ré-sultats , nous aurons définitivement pour les six racinesde la proposée les valeurs

x = 1x = — 1

—6+2\/5+V/(— 2 —6V/5)

4

_—6+2\/5— \/{ — 2 —6y/5)

*“ ?

_ -6-2V5+V(-2+6 y/5)

4

—6— W$+V(—' *+6\/5)

*"- 4 -

44. Équations transcendantes. Les diverses espècesd’équations que nous venonsd’examiner.ainsi que toutescelles qui ne contiennent que des puissances entières desinconnues, se nomment généralement équations algé-briques , tandis qu’on donne le nom de transcendantes,aux équations qui renferment, soit des puissances irra •tionnelles telles que x 1 '" 1 , soit des exposans eux-mêmesindéterminés tel que a x , soit des fonctions dérivées desvariables telles que sin x ou log x etc., soit enfin desquantités infinitésimales. Ces équations se divisent enplusieurs classes que nous allons examiner rapidement.

Nous devous faire observer ici que les équations quicontiennent des exposans fractionnaires sont algébriqueset non transcendantes parce qu’il est toujours possiblede faire disparaître ces exposans. Voy. Transforma-tion.

45. Équations exponentielles. Ce sont des équationsdans lesquelles les exposans des puissances sont incon-nus, comme a x =rrb , x x =m , etc., etc. Lorsqu’elles sont