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sans égaux et de signes contraires lorsque l’équation estde degré impair, ou lorsque, étant de degré pair, leterme du milieu manque.

87. En divisant tous les termes de l’équation (a) parle premier coefficient A, on peut donner à cette équationla forme (c)

EQ

ce qui est la même chose que

J? 3 + —3 = S 3 — 3{x 4- - )x z ' x

= z 3 —3z

Substituant donc ces valeurs de

x 6 -{-ax 5 -\-bx 4 -{-cx 3 -$-bx*-\-ax-\-i =0.

c’est-à-dire qu’on peut ramener toute équation réci-proque à avoir l’unité pour terme absolu. Nous suppo-serons, dans ce qui va suivre, qu’on a opéré cette réduc-tion.

3g. Comme il suffit de connaître la valeur d’une ra-cine pour obtenir immédiatement celle de sa réciproque,

à cause de la relation a X ~ = 1, on peut prendre pour

inconnue auxiliaire la somme de deux telles racines, ouposer

et transformer en z l’équation en x, par le procédé sui-vant.

Nous supposerons d’abord qu’il s’agit d’une équa-tion de degré pair et nous prendrons l’équation ci-des-sus (c) pour exemple. Divisons tous les termes par unepuissance de x , moitié de la plus élevée, c’est-à-dire ,par x 3 , dans le cas que nous examinons, et rassemblonsles termes affectés des mêmes coefficiens; (c) deviendra

w

, , I ,1 .1

jr 4- x* -4-, -4- - .

^ x s ’ ^ x*' x

dans l’équation ( d ) elle deviendra (e)

z 3 -|-az*+(6—3)z+c—aa=o

équation d’un degré sous-double de la proposée, dont larésolution fera connaître les six racines de cette der-nière , puisqu’on désignant par a, /3 , y les trois racinesde (c), chacune de ces quantités substituée à la place dez dans l’équation

z = x-\- £ ou x % —za’+1 == o

fera «oh naître deux valeurs de x, en résolvant cetteéquation.

4o. En examinant les valeurs, en fonction de z, des

quantités x -(- etc., sur lesquelles repose

X x

cet abaissement des équations réciproques, il est faciled’arriver à l’expression générale (J).

x m -\-

1

— =x m — rm m —*

x m

, m(m —3)

J-i- 1 z"*— 6 —

1.2

* 3 + ^3 + «(** + ^)+*(*-4)+ C== °

m{m —4 ){ m —5)1.2.3

z m — 5 + ctc «

mais en faisant

nous aurons

ou

x +

1

x

z

et, par conséquent,

^+-7 = z’—2

1 X*

de même

(X+ 1)1 =-3

ou

* 3 +3x-f-3^-f_l _. z s

dont la démonstration ne présente aucune difficulté.

t\i Considérons maintenant les équations réciproq ueSde degré impair, et prenons pour exemple l’équatio 0du septième degré (g)

xt-\-ax ( '-\-bx 3 -\-cx i -\-cx 3 -\-bx , -\-ax-\-\ = o

On voit aisément que cette équation a une racine =-' 1 ’car, substituant —1 à la place de x , on a évidemnie nt

— 1 -J -a — b-\-c — c-\-b —«-)-1 =0,

ainsi le premier membre de (g) est exactement divisé®par x-(-i (voy . ci-dessus n° i5). Mais en opérant h* ^vision on a pour quotient

x 6 -f-(a— 1 )x 3 -\-{b — a- f-1 — b-\-a — 1 )x 3 j

-J- ( b —a-f-1 )x* I

-\-{a —

+>!

équation réciproque du sixième degré de laquelle]>endent les six autres racines.