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EX

expression dans laquelle en faisant m égal à a , 3, 4 > 5 ,6, etc., on obtient tous les cas particuliers.

io. Les propriétés’des quantités radicales, peuventservir à simplifier, dans certaius cas, l’opération del'extraction des racines. Si on voulait extraire parexemple la racine 6 e d’une quantité A ,cn observant que

G 5 *

y/A = y/ y/A

EX

multiplierait ses deux termes par 5 l et la fraction de-venant

4X5»

5 3

sa racine serait

3

L’opération se réduirait à extraire d’abord la racinedeuxième de A et ensuite la racine troisième de cetteracine deuxième, ce qui simplifie beaucoup les calculs,car ces calculs deviennent déjà très longs pour les ra-cines du quatrième ordre.

Comme on a

». 0 / P / 1 y '"‘PI,

y/.y/.y/VA = y/A

toutes les fois que l’exposant d’une racine peut être dé-composé en facteurs l’opération devient donc plusfacile. C’est ainsi que l’extraction de la racine huitièmesc réduit à trois extractions successives de racinesdeuxièmes, que l’extraction delà racine douzième seséduit à deux extractions successives de la racine deuxiè-me faites sur la racine troisième de la quantité proposée.Parce que

a X a X' 2 =d> •zX^X ^= 1 - 8

La racine troisième de ioo étant entre 4 et 5, on au-

rait donc

pour la racine demandée. "Valeur qui ne

peut différer de la véritable que de p tout au plus.

En rendant le dénominateur plus grand on obtiendraitun plus haut degré d’approximation. Parexemple, si onvoulait avoir la racine précédente à un cinq-centièmed’unité près, on commencerait par multiplier les deuxtermes de la fraction proposée par roo, ce qui donne-rait

4 _4°°

5 5oo

multipliant ensuite les deux tonnes par la seconde puis-sance du dénominateur , on aurait

4 _4°°_4°°X 5oo* i oooooo

5 5oo 5oo 3 5oo 3

et ainsi de suite.

il. Nous avous vu (a i,g. aa ) que pour extraire laracine d’une fraction il fallait extraire celles de son nu-mérateur et de son dénominateur, et qu’on avait

dout la racine troisième

3 /ioooooo\ y/ioooooo

^ V 5oo 3 J 5oo

VI

Lorsque les deux termes de la fraction no sont pas despuissances parfaites, on ne peut alors trouver que desvaleurs approchées , mais la propriété que possèdent lesfractions, de ne point changer de valeur lorsqu’onmultiplie leurs deux termes par le même nombre faitqu’ou peut simplifier cette opération. En effet, multi-pliant les deux termes de la fraction pari "* -1 on a

m in

Et il est évident qu’il ne faut plus extraire que la ra-cine du numérateur.

Ainsi si l’on demandait la racine troisième de ^ , on

est entre

4?3 4M

5oo 5uo

elle est donc éuale à t — à nioin*° 5oo

de d’unité près,

5oo 1

On pourrait employer cette méthode pour obtenir I»racine d’une quantité quelconque à un dégré déterniin®d’approximation, il ne faudrait pour cela que donne*la forme fractionnaire à la quantité proposée. l’a* -exemple, s’il s’agissait d’obtenir la racine troisième de 1'*à moins d’un dixième d’unité près, on réduirait 32 e ‘ l

dixièmes, ce qui donnerait —-, dont la racine chcrche e' 1 10

comme ci-dessus, serait effectivement—,ou 2-4 -~~7. *

io 10

moins d’un dixième d’unité près.

ia. Le moyen le plus prompt et le plus coninio^ e

pour extraire la racine d’une quantité quelconque, à u ®degré d’approximation déterminé, consiste à couver 1 'cette quantité en faction décimale, eu observant d 3jouter autant de tranches de n zéros, qu'on veut a'