EX

Cela posé, si on voilait extraire la racine cubique de45382463 , après avoir séparé 3 chiffres à droite, il enleste 5 à gauche, 45382; les dixaines de la racine ontdonc, plusieurs chiffres puisque, d’après ce qui précède ,la troisième puissance d’un seul chiffre ne peut contenirque 3 chiffres au plus. Supposant alors qu’il s’agisseseulement de trouver la racine troisième de 45382, onagira comme dans les exemples précédens, et comme45382 n’est pas une troisième puissance parfaite, ontrouvera 35 pour cette racine approchée. Retranchantla troisième puissance de 35 , de 45382, on aura 2507 àcôté duquel écrivant 463, chiffres séparés à la droite dela quantité proposée, on formera un reste sur lequelon agira d’après la règle donnée, en considérant lesdixaines 35 comme ne formant qu’un seul chiffre. Lequotient de la division donnera 6, et on aura par con-séquent pour la racine demandée 356.

45,382,463 J 3 plus hautes dixaines2 7 __ 1

reste i83,82j27=3X3*

_16 quotient

42875=33*

•'estegéuéralu5o74,63 j 3675=3X35*

I 6 quotient.

La troisième puissance de 36 étant 46656 on ne prendque 35 pour les dixaines.

La troisième puissance de 356 étant 45118016, ou voitque la quantité proposée 11’est pas une troisième puis-sance exacte et que sa racine est entre 356 et 35 7 .

8. On peut conclure de ce qui précède, la règle géné-r ale suivante pourl'exiraction des racines. Pour extrairela racine du degré quelconque n d’une quantité donnée,*1 faut: i° diviser la quantité en groupes de n chiffresen commençant de droite à gauche. 2 0 Chercher la plusgrande puissance n contenue dans les chiffres du derniergroupe, au moyen de la table des puissances. La racinede cette puissance sera le chiffre de l’ordre le plus élevéde la racine cherchée. 3° A côté de la différence de cedernier groupe et de la puissance qu’il contient, abais-ser le groupe suivant, séparer n —1 chiffres à la droite,et diviser le restaut par n fois la n —i puissance duchiffre trouvé. Le quotient sera le chiffre de la racineS UI vient après le premier déjà connu. 4" Élever lesdeux chiffres connus à la puissance n, et retrancher leRésultat des deux premiers groupes sur lesquels onv *ent d opérer. A côté du reste, abaisser le troisièmegroupe, séparer ensuite n —1 cliiffi ■es à droite, et di-Vlser le reste par/: fois la puissance n —1, des deuxchiffres connus. Le quotient sera le troisième chiffre de

lacine. 5° Élever les trois chiffres connus à la puis-sance «, retrancher le résultat des trois premiers grou-

EX 57Ï

pes , abaisser le quatrième groupe à côté du reste, etc.Et ainsi de suite.

On trouvera ainsi successivement tous les chiffres dela racine en ayant soin de diminuer les quotiens lorsqu’ilssont trop grands.

9. Lorsque les quantités dont on veut extraire les ra-cines ne sont pas des puissances parfaites, on 11e trouve,en faisant l’opération d’après la règle donnée, que lesracines des plus grandes puissances contenues dans cesqnantités, et il peut se f.iire alors que la différence,entre la puissance de la racine trouvée et la quantitédonnée, soit assez considérable pour faire croire que laracine trouvée est trop petite d’une unité. Dans le der-nier exemple précédent la différence 264627 qu'il y aentre la quantité proposée 4538x463, et la troisièmepuissance de 356, se trouve dans ce cas; on pourrait donccroire que 35 7 donnerait une troisième puissance plusapprochée de 4538x463. Comme pour vérifier cedoute, il faudrait élever 356 à la troisième puissance etque dans plusieurs cas cela peut entraîner à de longs cal-culs, il est essentiel d’examiner si l’on ne peut abrégerces calculs, en trouvant un caractère qui indique le casoù la racine trouvée est trop faible d’une unité.

D’abord pour la troisième puissance, en désignantpar A la racine trouvée, la différence qu’il y a entre A 3et (A-j-i) 3 est 3A*-f-3 A-j-i, car

(A+1 ) 3 = A 3 +3 A’+3 A-j-1

Ainsi tant que la différence, entre la quantité donnéeet la puissance de la racine trouvée, est moindre que3A*+3A+i, c’est-à-dire, est moindre que trois fois la.seconde puissance de celle racine , plus trois fois celteracine plus un, la racine en question n’est pas tropfaible.

Par exemple , dans le cas cité on a

3X(356)*+3X(356)+i = 38i2 77 >2646x7,

ainsi la racine 351 n’est pas trop faible d’une unité.

S’il s’agissait d’une seconde puissance, comme

(a-\-\y~a'+‘ia-\-i ,

on aurait

(a-(-i)*—a*—aa-f-i.

Le reste ne doit donc pas surpasser le double de laracine trouvée plus un.

Pour une cinquième puissance on aurait

(a-)-i) 5 —a 5 = 5a 4 +iO(J 3 -|-ioa*-|-5a-f-iet eu général pour une puissance, quelconque m

, , . , rn(m —1)

(rt-j-i)"»— a m = ma”'— 1 -j—-—-—'

- 3 -j- etc . ..+

m { m —i)(/w—2)

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