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FO

FO

etc. II nomme alors p première dérivée ou fonctionprime, q seconde dérivée ou fonction seconde, r troi-sième dérivée ou fonction tierce, etc., et désignant cesdérivées par la notation f'x,f"x,fx etc., il parvientau développement final

ff+i) = f x +fx-i +f ” x -+ etc -

et il conclut que ces fonctions dérivées sont la véritablesignification des coefûciens différentiels du théorème deTaylor.

. . dfx . dfx i 1 dfx i 3

= /x +-dx- l +dx;- TTû+lte-,X3+ ctc -

Il ne nous est point nécessaire de suivre Lagrangedans les conséquences ultérieures de ses principes, nidans les nombreuses applications qu’il en fait ; ici lemétaphysicien disparait pour faire place au géomètre :tout ce que la science et le génie peuvent offrir de res-sources, se trouve employé par lui avec cette supério-rité incontestable qui l’a placé au premier rang, et quidonne un haut degré d’utilité à l’étude de sa théorie desfonctions analytiques, malgré la fausse direction decet ouvrage. Toute cette prétendue théorie repose évi-damment sur les deux principes (a) et (b), et il noussuffit d’examiner la validité de ces principes pour nousformer une idée de celle de la théorie elle-même.

Pour pouvoir poser comme principe la forme (a) dudéveloppement des fonctions en séries, il faudrait d’a-bord démontrer que toute fonction fx-\-î) est, en elle-même, identique avec le développement fx-\-pi-\-qi*-\-etc., ou qu’elle Qst simplement équivalente à ce déve-loppement, et déterminer la condition supérieure decette identité ou de cette équivalence; mais Lagranges e contente d’établir qu’il ne peut y avoir dans ce déve-loppement (a) des puissances fractionnaires de i, ce quile conduit à son second principe {b) à l’aide duquel ilprétend ensuite démontrer cette forme (a) justement enQuestion ; or, sans relever ici le cercle logique qui ré-sulte de la dépendance mutuelle des deux expressions(«) et {b), il est de fait que la démonstration de Lagrangesur les puissances fractionnaires de i est non-seulementmsuffisantc, mais de plus qu’elle est entièrement fausse,car rien n’empêche de faire entrer ces puissances frachonnaires dans le développement de la fonctionyjas-j-t),^ ct dans ce cas les valeurs différentes des radicaux sec °mpensent soit dans la génération même de la série,80, t dans la quantité qu’elle donne de manière qu’il en1 esulte toujours la même valeur pour la fonction / (x-(-t)( Vo y • Séries). La forme ( a ) des séries n’est donc nulle-ment démontrée, et la théorie de Lagrange repose con-séquemment sur une base hypothétique : ses deux prin-tl P es («J et ( b ) n’étant jusqu’ici vérifiés qu’à postériori.

Mais lors même que ces principes seraient rigoureu-sement établis , aucun d’eux n’est capable de donnerune signification indépendante et absolue aux fonctionsàènvèesfx,fx, etc., sur lesquelles reposent, d’aprèsLagrange, la métaphysique et la possibilité du calculdifférentiel, en effet, ces fonctions n’ont d’autre signifi-cation que d’être les coefficiens des termes de la série etleur position dans cette série n’est réellement que ladonnée du problème qu’on peut se proposer sur la re-cherche de leur nature. Or, la nature d’une quantitéconsiste dans la réunion des opérations élémentaires ousystématiques à l’aide desquelles elle est formée, carc’est évidemment la réunion de ces opérations qui cons-titue la signification de cette quantité , signification quiest absolue lorsque les opérations sont primitives ( addi-tion , multiplication , puissance et leurs inverses ), etseulement relative , lorsque les opérations sont déri-vées (logarithmes, sinus, etc.,) (voy. Mathématiques).Par exemple, si nous désignons par a la diagonale d’uncarré dont le côté est b , l’expression

b

sin. 45°

sera la signification relative de la quantité a, parcequ’il entre dans cette expression la fonction sinus quin’est point primitive , tandis que l’expression équiva-lente

b\/ r i

sera la signification absolue de cette même quantité,celle qui fait connaître la nature irrationnelle de ludiagonale. (foy. Cercle, 45, «n autre exemple pris surle fameux nombre ir. ) Les fonctions dérivées de La-grange fx , fx , etc., ne sont en réalité qu’un nomdonné à certains procédés qu’il faut exécuter pour ob-tenir les équations dont la valeur de ces fonctions dé-pendent, et elles n’ont ainsi en elles-mêmes aucune es-pèce de signification; bien loin donc de pouvoir expli-

dfx d^fbc

quer la nature des quantités différentielles-^--, ,

etc., elles ne sauraient être conçues qu’à l’aide de cesquantités, et c’est seulement parce qu’on a

dfx dfx dfx

/ *=£-’ f *=-b' c,c -

que ces fonctions dérivées reçoivent une significationqui les rend susceptibles d’être employées dans la science.( Voy. Réfutation de la théorie des fondions analyti-ques de Lagrange, par H. Wrouski , Paris i8iî.)

FONTAINE ARTIFICIELLE ( Méc .). Machine parle moyen de laquelle l’eau est versée ou lancée. De cesmachines, les unes comme les jets d'eau ( voy. ce mot)agissent par la pesanteur de l’eau, les autres comme la