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et l’expression^— b, oux, se nomme alors fonctionréciproque de y.

6. S’il est toujours facile d’obtenir la valeur d’unefonction entière correspondante à une valeur déter-minée de la variable, il n’en est pas de même lorsquela fonction est irrationnelle ou transcendante; et dans leplus grand nombre des cas on est forcé d’avoir recoursà des procédés de transformation que nous ne pouvonsexposer ici. ( Voy. Y Introduction à Vanalyse des infini-ment petits d’Euler. ) Mais le grand moyen, connu desgéomètres, pour évaluer toute espèce de fonctions,c’est d’obtenir par les séries une nouvelle génération desquantités qu’elles représentent, ce que l’on appelle dé-velopper une fonction en série : ce problème est au-jourd’hui résolu complètement par les procédés ducalcul différentiel, et nous devons renvoyer aux articlesde ce Dictionnaire qui en traitent {Voy. Différentiel ,34,4 1 et Série), tout en faisant observer qu’il existeencore d’autres algorithmes capables de donner unesolution exacte et quelquefois plus satisfaisante de laquestion que celle qu’on obtient au moyen des séries.Voy. Technie.

Théorie des fonctions analytiques. Obtenir tous lesrésultats du calcul différentiel sans avoir recours à au-cune quantité infiniment petite ou évanouissante, dé-terminer les véritables principes de ce calcul, tel est ledouble problème dont notre célèbre Lagrange a crudonner la solution dans ses ouvrages sur la théorie et lecalcul des fonctions analytiques. (Voy. Théorie desfond, analy ., et Leçon sur le calcul des fond. ) Nousavons eu déjà l’occasion dans plusieurs articles de ceDictionnaire de nous élever contre l’étrange prétentiondes géomètres modernes de vouloir repousser de lascience l’idée de l’i>i/?msans laquelle elle n’existerait pas,et nous pourrions nous contenter ici de déclarer, ennous appuyant sur les principes exposées au mot Diffé-rentiel, que, considérée sous le rapport métaphysique,la théorie de Lagrange est un véritable non sens philo-sophique ; mais les services cminens que ce grand ma-thématicien a rendus à la science, la nature même deserreurs dans lesquelles il est tombé , et surtout la polé-mique singulière dont ces erreurs ont été l’objet entrel’Institut de France et l’auteur de la Philosophie desmathématiques nous font un devoir d’entrer dans quel-ques détails capables d’éclaircir cette importante ques-tion.

Le point de départ de Lagrange est que la théoriedu développement des fonctions en séries renferme lesprincipes métaphysiques du calcul différentiel, et sesmoyens sont de démontrer que les quantités dites dif-férentielles ne sont en réalité qu’une espèce particulièred'algorithme des fonctions, ou comme il les nomme,

FO

des fondions dérivées d’une fonction primitive. Soit,dit-il, fx une fonction quelconque d’une variable x, sil’on suppose qu’à la place de x on mette dans cettefonction x-j-i, i étant une quantité quelconque indéterminée, elle deviendra f (x-|-i) et ou pourra la déve-lopper en une série de cette forme (a)

/{x-}-/) =fxf-pi-\-qi 1 -\-rPJ r etc.

dans laquelle les quantités p , q , r, etc., coefficiens despuissances de i, sont de nouvelles fonctions de x déri-vées de la fonction primitive et indépendante de l’in-déterminée i.

Quant à la possibilité même de la forme du développe-ment^), Lagrange suppose, pour la démontrer, qu’au-cun terme de ce développement ne peut contenir despuissances fractionnaires de 1 parce que, vu la pluraliicdes racines, la série aurait plusieurs valeurs, ce qui se-rait absurde. Fondé sur cette raison que nous examine-rons plus loin , il pose pour second principe de sa théo •rie l’expression (b).

f{x+ï)=fx+iV

dans laquelle P est une fonction de a; et de i qui nepeut devenir infinie lorsque test égal à zéro, puisquedans ce dernier cas, celte expression doit se réduire àl'identité.

fx=fx

Mais P étant une nouvelle fonction de x et dei, onpeut aussi en séparer ce qui est indépendant de i et quipar conséquent ne s’évanouit pas lorsque i devient nul.Soit donc p ce que devient P lorsqu’on fait i = o, psera une fonction de xsanst et l’on aura encore.

P=/>+*'Q

t’Q étant la partie de P qui devient nulle lorsquei =0 et Q une nouvelle fonction de x et de i. En pour-suivant le même raisonnement on' pourra former lasuite d’égalités.

/(x+/)=/x-{-iP

P= P +iq

Q=7-HR

K=r+iS

ctc=etc

ce qui donnera en substituant successivement,

/(x+0 =fx-\ r pi J r qé-\-rP-fdc.

c’est-à-dire une série de la forme en question (<z).

Ceci posé, Lagrange'démontre que chacune des fonc-tions p, q, r, s, etc. se dérive de celle qui la précède parun procédé unique de dérivation , de sorte que p étautla dérivée de fx, q est la dérivée de p, r la dérivée de q ,