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mouvement des gaz, c’est la Pneumatique . ( Voy . cemot.)

L’hydrodynamique est la partie la plus difficile et lamoins avancée de la mécanique; ses lois fondamentalessont entièrement inconnues, et le peu delois particulièresdont elle se compose aujourd’hui ne sont encore qu’unrésultat de l’expérience; toutes les tentatives faites jus-qu’ici pour les généraliser ou pour en obtenir la déduc-tion mathématique à priori ont été sans succès, et nouspouvons prévoir qu’il en sera de même de toutes lestentatives ultérieures, tant que la constitution intimedes fluides ou généralement celle de la matière ne serapas dévoilée.

i. Il est connu, par expérience, que lorsqu’un fluidepesant contenu dans un vase s’échappe par une ouver-ture pratiquée au fond du vase, la surface extérieuredu fluide conserve sensiblement une situation horizon-tale. Si l’on imagine donc que la masse du fluide soitpartagée en tranches horizontales, ces tranches pourrontêtre considérées comme parallèles à mesure qu’elless’abaisseront et que le vase se videra, et les moléculesqui les composent seront censées descendre verticale-ment. Cette hypothèse est loin sans doute d'être rigou-reuse, puisque les molécules seront soumises à desmouvemens horizontaux, mais elle est au moins suffi-sante pour nous donner une solution approchée duproblème de V écoulement des fluides.

Soit EFCD, ( pl. 43 fig. i.) un vase dont la surfaceinterne est donnée par l’équation f(x,y, z), = o; ima-ginons un plan horizontal A B, et prenons l’ordonnéeez = z pour mesurer la distance d’une des tranches dufluide à ce plan. A l’aide de l’équation <p ( x, y, z), nousconnaîtrons l’aire A, delà tranche qui répond à l’ordonnéez, et, la hauteur de la tranche étant supposée infinimentpetite, en multipliant cette aire par la différentielle dzde z, nous aurons sdz pour le volume de la tranche.Or, comme dans l’hypothèse qui nous sert de base, toutesles molécules de cette tranche arrivent en mêmetemps par un chemin vertical au plan horizontal qui luisert de base, il est évident que ces molécules seront ani-mées de la même vitesse. Mais si nous considérons deuxtranches différentes, la vitesse cessera d’être constante.En effet le fluide étant incompressible, une tranchequelconque ne peut descendre de la hauteur dz dansle temps dt sans qu’il ne sorte par l’orifice C D une quan-tité de fluide égale au volume de cette tranche. Ainsi,|si nous désignons par v la vitesse qui a lieu à l’orificeC D, par a l’aire de cet orifice; comme la vitesse est gé-néralement égale à l’espace divisé par le temps {Voy.vitesse), l’espace vertical parcouru dans l’instant dt seraégal à vdt ; donc en multipliant l'aire a par cette hau-teur verticale vdt, nous aurons avdl pour la quantitédu fluide écoulé par l’orifice C D pendant l’instant dt.

Cette quantité de fluide devant être égale à la tranchedisparue, nous aurons l’équation

i. sdz = avdt

d’où nous tirerons

dz

2 . av = s. —r

dt

Si nous désignons par u la vitesse de la tranche aprèsdz

le temps t, nous aurons u~^(voy. Vitesse);' substituantcette valeur dans (2), nous obtiendrons3 . av = su

équation qui nous apprend que les vitesses v et u doi-vent être en raison inverse des aires a et s. Ce qui dureste est évident.

Après l’instant dt, la vitesse u deviendra dit, ou ~fdf,

mais si les molécules du fluide 11’agissaient pas les unessur les autres, la force accélératrice ou la pesanteur quiles sollicite étant exprimée par g, nous aurions

du ,

2~ t = Si et du — S dl

Or, par l’action réciproque desimolécules , chaquetranche perd toute la vitesse qu’elle aurait si ces molé-cules étaient libres , moins celle qui lui reste effective-ment; ainsi la vitesse perdue par une molécule de latranche s sera

, du ,

&s il

et, par conséquent, la force accélératrice due à cettevitesse aura pour expression

du-e ~~ dt

Mais, d’après le principe de d’Alembert (voj'.Stati-que )le fluide resterait en équilibre si chacune de sestranches était sollicitée par des forces motrices capablesde lui imprimer la vitesse qu’elle perd à chaque instant;supposons donc ces tranches sollicitées par de sembla-bles forces, et l’équation d’équilibre des fluides incom-pressibles

dp = Sgdz

dans laquelle p désigne la pression et S la densité dufluide ( Foy. Hydrostatique, n° 9. ) deviendra, dan»cette hypothèse, (4)

dp = *(*-$)*