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Substituant à la place de du, sa valeur trouvée endifférentiantl’équation (3), av = su, savoir:

du =

asdv — avds

dz

et éliminant ensuite — au moyen de l’équation (1), l’é-

quation (4) deviendra ( 5 )

, . r , dv dz , ds~[

dp =3\gdz-a ^ T + av- 3 -j

En intégrant parrapport à z, comme les quantités f et

dv

dt

doivent être considérées comme constantes, puis-

qu’elles sont les valeurs particulières que prennent lesquantités u et ^ à l’orifice , nous aurons (6)

' dz

" dit J s

La valeur de la constante C qui est en général unefonction du temps t dépend de la pression que supportela surface supérieure du fluide. Pour plus de simpliciténous supposerons que cette pression est celle de l’atmo-sphère et nous la désignerons par n. Désignons alors parz' la valeur de l’ordonnée z relative au niveau du fluidedans le vase , et par s' la surface de ce niveau ou ce quedevient s lorsqu’on fait z = z' ; si nous prenons l’inté-

/ d z

— de manière qu’elle s’évanouisse pour cette

valeur z = z' nous aurons aussi pour cette même va-leur (7)

+C

Eliminante dans(6) à l’aide de sa valeur prise dans (7),cette dernière équation devient définitivement (8)

f , „ dv pdz a’v 1 , a’v’l

P = « + S[g(z-z)-a- d J ^r+-r,J

et donne la valeur de la pression exercée sur un pointquelconque du vase.

a. Pour obtenir la pression quia lieu à l’orifice, dési-gnous-lapar zr, et comme dans ce cas z reçoit une valeurdéterminée qui est la distance constante du plan AB à^orifice, représentons par l cette valeur; nommons de écoulé dans le temps dt, doncpins h la hauteur du niveau au-dessus de l’orifice, nousa urons 7* =■ l — z; et désignons enfin par N l’inté-grale prise dans toute l’étendue de h , c’est-à-dire

depuis z = z' jusqu’à z = l. Substituant ces valeursdans (8) nous obtiendrons (9)

-,dv

HY 80

Cette dernière équation fait connaître la valeur de lapression tr à l’orifice. Si l’on suppose les pressions zret7 t égalés, comme cela a lieu lorsqu’elles sont exercéesseulement par le poids de l’atmosphère, zr — w se ré-duit à zéro, le facteur commun S disparaît et l’équa-tion (9) devient (10)

, --.dv fa'v \

~^)=o

3. Le mouvement d’un fluide qui s’écoule par un ori-fice horizontal présente deux cas : celui où le fluide estentretenu constamment au même niveau, et celui où leniveau s’abaisse à mesure que le fluide s’écoule. Dans lepremier cas, A, N et s sont des qualités constantes, etl’on peut intégrer sans difficulté l’équation (10) , maisdans le second, h devient variable et cette intégrationne peut s’effectuer sous une forme finie que dans un très-petit nombre de cas. Nous ne pouvons examiner ici queles résultats les plus généraux de cette théorie.

Si l’on suppose l’orifice CD très-petit par rapport à lacapacité du vase, on pourra négliger sans erreur sensibleles tenues multipliés par a dans l’équation (10), et elledeviendra

gh — •£■ v 1 = Od’où nous obtiendrons (11)

v = \Zigh

En comparant cette expression avec la formule 6, dumouvement accéléré (Voy. Accéléré), et en observantque dans cette dernière la quantité g est la même chosequ’ici ig, on découvre le théorème très important dontvoici l’énoncé :

La vitesse d’un Jluide qui sort d'un vase par un trèspetit orifice est égale a celle d’un corps pesant qui seraittombé de toute la hauteur du niveau au dessus de l’o-rifice.

Ce théorème a lieu dans les deux cas du niveau con-stant ou variable.

4. La vitesse v peut servir à trouver la quantité d’eauécoulée dans le temps t, ou ce qu’on appelle la dépensedu réservoir. En effet si nous désignons par de l’espaceparcouru dans le temps d t, nous avonsde = vdt

et, conséquemment avdt exprime le petit filet qui s’est

en remarquant que lorsque i

/onai=a.

^ avdt

est la quantité d’eau écoulée dans le temps t ou la dé-pense. Remplaçant v par sa valeur (11) et intégrant,nous obtiendrons (12)

dépense = a\/ugJ'' dt\/h

5. Si la hauteur h du niveau est constante, on a sim-plement,

TOM K II.

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