HY

xdx -j~ydy -)- zdx — 0

HY

libre s’il n’est contenu dans un vase fermé de tontesparts.

i6. Appliquons les considérations précédentes au casdes fluides incompressibles, et considérons un tel fluide,homogène dans toutes ses parties, renfermé dans un vasecapable d’opposer à la pressiori une résistance indéfinie.La densité J étant alors constante, la possibilité de dé-terminer la valeur de p pour un point dont les coor-données sont x, y , z dépendra de celle de l’intégrationde la formule.

Xrfr+Ydy + Zrfz

intégration à laquelle on peut toujours parvenir lorsquecette formule est une différentielle exacte des variablesx, y, z. Si une partie de la surface supérieure du fluideest libre, la pression p doit être nulle à cette partie pourque l’équilibre puisse subsister ; l’équation (8) de-vient (9)

Xdx -f- Y dy -j- Zc/z = o

Cette dernière équation aurait encore lieu si la pressionp était constante. Tel est le cas où l’atmosphère, parexemple, presse également sur tous les points de la sur-face libre. En effet la différentielle d’une quantité con-stante est zéro.

7. Mais dans le cas où l’expression (9) est une diffé-rentielle exacte, et que dp = o, c’est-à-dire lorsque lapression, si elle existe, est constante, pour que le fluidepuisse rester en équilibre, il faut nécessairement que larésultante des forces accélératrices qui agit de dehors endedans, soit normale à la surface du fluide; car dans lecas contraire on pourrait la décomposer en deux forces,l’une normale et l’autre tangente à la surface, et rienn’empêcherait cette dernière de faire glisser la moléculedm. Il résulte de cette considération, que lorsque lefluide n’est sollicité que par des forces accélératrices di-rigées vers un centre fixe , sa surface extérieure doitêtre sphérique. En effet prenant le centre d’attractionpour l’origine des coordonnées , la distance du pointx,y, z, à cette origine, aura pour expression

\Zx'-\-y *+z

Désignons par r cette distance et par <p la force d’attrac-tion qui agit sur dm-, cette force fera avec les axes

, , x y z

coordonnées des angles qui auront pour cosinus -, -, -.

nous aurons donc

X=ç>-, Y=<p- Z =*5

t r T r T r

et ces valeurs substituées dans (9; nous donneront, pourl’équation de la surface du fluide,

Hpcdx -\-ydy -j- zdz)=o

ou simplement

i)ô

dont l’intégrale

x*+y*-\-z* = C

est l’équation d’une sphère ( Voy. ce mot). Ainsi la sur-face du fluide est nécessairement sphérique.

8. Si le centre d’attraction est très-éloigné de la sur-face du fluide, comme, par exemple, le centre de laterre par rapport à la surface supérieure d’une eau sta-gnante , la courbure devenant insensible dans une pe-tite étendue, on peut, pour cette étendue, la considé-rer comme plane.

9. Dans le cas où les forces accélératrices qui agissentsur un fluide se réduisent à la seule force de la pesan-teur , nous aurons

X=o, Y=o, Z = g

g désignant la force de la pesanteur à la surface de laterre.

L’équation d’équilibre pour une masse fluide renfer-mée dans un vase ouvert à sa partie supérieure, et quirepose sur un plan horizontal, deviendra donc, en sub-stituant ces valeurs dans (8)

(10). dp=Sgdz

La surface supérieure du fluide, qui sera horizontale,comme nous l’avons vu ci-dessus, étant prise pour leplan des x, y.

L’intégration de cette équation , en considérant Jetg comme des quantités constantes, nous donnera (11)

p=Sgz

Il n’y a pas besoin d’ajouter de constante parce que lapression doit être nulle à la surface du fluide, ou lors-que z = o.

10. Soit h la distance comprise entre le niveau dufluide et un point de la surface intérieure ou de la basedu vase. Pour ce point, z devenant h , nous aurous (12)

p = Sgh

et telle sera la pression que supporte l’unité de surfacede la base.

Mais nommons P la pression que supporte la base to-tale du vase égale à un certain nombre m d’unités desurface ; P contiendra m fois p, et l’on aura (i 3 )

P = p/n

ce qui devient, en substituant à p sa valeur (12)

14....... P =Sgmh

En remarquant que m h exprime le volume d’un pris-me qui a m pour base et li pour hauteur; et qu’en mul-tipliant le volume par la densité , on obtient la masse duprisme ( Voy. Densité ) ; laquelle a son tour multipliée