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5 . Cherchons maintenant l’équation générale del’équilibre en rapportant la position d’une moléculefluide à trois plans rectangulaires coordonnées ( Voy.Application, 29) et pour cet effet supposons que le plandes x.y soit horizontal et situé au-dessus du fluide( pl.4 î,Jig- 3) dont nous concevrons le volume partagé enun nombre infini de parallélipipèdes élémentaires pardes plans parallèles aux trois plans coordonnées. Dési-gnons par m la masse du fluide ; dm sera celle de l’unde ces élémens , dont le volume sera exprimé pardxdydz, x, y, z étant les coordonnées de l’élément. Or,en désignant par d'là densité , supposée constante dansla molécule du fluide, la masse étant égale au produitdu volume par la densité (Voy . Densité), nous au-rons (4)
dm = S dxdydz
Désignons par X, Y,Z les sommes des composantes pa-rallèles aux axes des x, des y et des z , des forces accé-lératrices qui agissent sur la molécule. Ces résultantesdevront être considérées comme constantes dans toutel’étendue de l’élément dm ; les produits
Xdm, Y dm, Z dm
représenteront les forces motrices de dm, parallèles auxaxes..( Foy. Force morte et Mécanique.) Ces forcesdoivent contrebalancer les pressions que le fluide envi-ronnant exerce sur les six faces de l’élément dm.
Désignant par p , comme ci-dessus, la pression rap-portée à l’unité de surface, la pression supportée par lasurface supérieure mq ou dxdy de la molécule, serapdxdy ; mais lorsque l’ordonnée am = z devientam -f- mn — z -f- dz, la pression p qui varie avec zdevient
o+i*
et cette dernière quantité exprime la pression de l’unitéde surface sur la base np du parallélipipède; cettebase éprouvera donc une pression
(p + dxdy
La différence des pressions verticales à la surface su-périeure et à la base du parallélipipède, c’est à-direla différence entre la pression qui tend à élever la mo-lécule et celle qui tend à l’abaisser sera donc
dxdydz
et comme cette différence doit faire équilibre avec laforce motrice verticale Zdm , nous aurons
dp
dxdydz =Z dm
ou, simplement ( 5 )
% — SZdz
en substituant à la place de dm sa valeur (4).
On obtiendra de la même manière, en désignant parq et r les pressions latérales exercées sur l’unité de sur-face et qui agissent contre les faces ns=dxdz, rno—dydz,
(6) , ,
ÿ=sJY, ÿ=c?X
dv 7 dx
Mais les pressions q et r ne peuvent différer de lapression p, car la pression pdxdy qui a lieu sur la facedxdy devant être transmise dans tous les sens, les pres-sions des faces verticales dxdz,dydz seront composéesdes pressions pdxdz, pdydz augmentées des pressionsparticulières dues aux forces motrices Xdm, Y dm, Z dm.Ainsi les pressions totales qdxdz, rdydz seront respecti-vement
qdxdz=pdxdz-\~M.rdydz = pdydz -)-N
M et N étant les pressions dues aux forces motrices. Or,M et N sont évidemment des quantités infiniment pe-tites du troisième ordre, comme la masse dm-, ainsi ellessont nulles par rapport aux quantités infiniment petitesdu second ordre qui entrent dans les équations précé-dentes ( Voy . Différentiel ) et en les retranchant 011trouve q—p et r=p. Les expressions ( 5 ) et (6) se rédui-sent donc à (7
4?=<rz,
dz dy
d’où l’on déduit l’équation générale (8)dp = S{Xdx+Ydy-{-Zdz)
La valeur de p qu’on obtiendra eu intégrant cetteéquation, exprime la pression, rapportée à l’unité desurface, que le fluide exerce en un point quelconquedont les coordonnées sont xy,z. Lorsque le fluide estrenfermé dans un vase, il suffira de mettre dans p lavaleur des coordonnées d’un point de sa surface pourconnaître la pression qnc ce vase éprouve à ce point, etqui sera toujours détruite par la résistance de la paroi,tant que cette résistance sera suffisante. Dans les en-droits où le vase est ouvert, comme rien ne détruiraitla pression du fluide, l’équilibre ne peut subsister, si lavaleur de p ne devient nulle d’elle-môme pour tous lespoints de la surface libre du fluide; condition qui nepeut être remplie que pour des fluides incompressibleset lorsque la surface libre est la surface supérieure dufluide. Dans les fluides élastiques, la pression étant pro-portionnelle à la densité {Voy. Air ), cette pression 11cpeut jamais devenirnulle tant que la densité ne l’est pas,et par conséquent un tel fluide ne peut rester en équi-