m

1IY

HY

2. Il résulte de ce qui précède que toutes les quanti-tés dites imaginaires sont delà même nature, puisqu’ellesne diffèrent entre elles que par la valeur de l’exposantet qu’elles sont rigoureusement identiques dans cequi concerne leur génération idéale ; ces quantités doi-vent donc avoir la même forme dans leur expression ,ou pouvoir s’exprimer au moyen de l’une d’entre elles.Il est effectivement reconnu qu’on peut obtenir l'expres-sion algébrique d’une quantité imaginaire quelconque àl’aide de la plus simple de ces quantités, savoir \/ — i.C’est ce que nous allons démontrer.

La forme générale des quantités imaginaires étant

im

V-l

pour plus de généralité, donnons un exposant quelcon-que n à cette quantité, et nous aurons

(y -0 =(v/-o M -

i p(p—*) (p—*) /—_r 1 . 2.3 v

I p(p— 0(p—a)(p— 3 )

' I . 2. 3 . 4

— etc.

expression dans laquelleles termes sont alternativementréels et imaginaires. Désignant par a p la somme destermes réels

p(p —») , p(p— 0(p— 12 Xp— 3 )

■etc.

I .2

Donc, dans les cas particuliers de p = i , p = i

p = 3 , etc., les puissances de (i ■— y/ — i) auront lesformes

1 > « 3 +^V / — 1 > a Æ b iV —>> etc...

Subst tuant cos quantités dans le développement gé-néral (i), il deviendra

n _

(V— ^ (a,+b, V—')

n(n — m)m 1 . i. 2

i a Æ b >V —0

n(n— m)(n— im

- ^+ b 'V-')

-J- etc.

Effectuant les multiplications indiquées, lesecond nom-bre de cette égalité sera composé de deux suites de ter-mes, les uns réels et les autres imaginaires j et désignantenfin par A la somme des termes réels

Or, quel que soit A, on a toujours A— i —(i—A);ainsi l’on peut mettre la quantité proposée sous la formed’un binôme et eu obtenir le développement par lesformules connues ( Voy. Binôme de Newton ). Nousavons donc

m n

(V~*) n ‘= (i—(i— V— 'ïf

Et, par conséquent, (î)

( V -Tÿk =* - ^—V zr ') +

,n(n — m) _

' 7/t*i.2 V O 1 “H etc..

Mais les puissances successives ( i— y/— i ), (i —y/— i ) 2 ,etc., qui entrent dans ce développement peuvent êtremises sous une même forme, puisque l’on a générale-ment , p étant un nombre entier quelconque

<—✓=7 = -&=!>+

n

i- a t

m m 2 .1.2

n(n — m) n(n — w){n —2m)

-- a ,-i —-— -5—-a 3 -f-etc..

1.2.3

et par B la somme des cocfficiens réels de y/ — i,

bt + K _ i3+ etc...

m 1 m 2 , 1.2 mr , 1.2 .3

nous parviendrons à l’expression finale

/%m N n

[ y-'J =a+bvæ

1.2.3.4

Et par bp celle des eoeflficiens de y/ — i , nous aurons

l 1 —' v— r b p \/—7

dans laquelle A et B sont des quantités réelles positivesou négatives.

Il est donc démontré que toute quantité dite imagi-naire y/ — 1, et même que toute puissance de cettequantité peut s’exprimer au moyen de la seule ra-cine seconde de — i, et que la forme de cette généra-tion est A -)- B y/— i.

3 . Nous avons reconnu ( voy. Elévation aux puis-sances) qu’une racine de l’unité pouvait admettre plu-sieurs valeurs différentes, et nous avons donné {voy.Equation , 29 ) l’expression générale de ces valeursdont le nombre est précisément égal à celui de l’expo-sant de la racine. Il nous reste à examiner la possibilitéde cette pluralité de valeurs; c’est ce que nous allonsfaire en partant de la génération même de l’unité.

p. étant un nombre entier quelconque, y compris zéro,2p peut représenter tous les nombres pairs, 2 u-J-i tousles nombres impairs , et nous avons

(—i) a /* =-f- 1 et (—— 1Une racine du degré quelconque n sera donc»_

V+ 1 — (— i)»

", _ »/*+!

I = ( -1) n