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d 05

ou

r‘

V+î = (—l)P. (— 1 )«

*_ £

V—i = (—i)v. (—i)"

également deux cas, savoir : lorsque l’exposant n estpair, et lorsqu’il est impair; dans le premier, q' peutêtre un nombre impair quelconque, positif ou négatif,plus petit que n , d’où

p' et q' désignantles restes des divisions de ip etde 2^+1par n , et p et q les quotiens de ces divisions. Or p étantun nombre arbitraire et par suite p' et q' étant aussi desnombres arbitraires compris entre les limites o et n, ilest évident que les racines en question ont autant de gé-nérations différentes qu’on peut prendre de nombresdifférens pour p' et q'. D’abord, en commençant parl’unité positive, si n est un nombre pair, p' doit êtrepair aussi, puisque l’on a dans ce cas

ip. =pn-\-p'

X^—i - (— i)v.(— *)+»

V-i = (—O - "

q pouvant être indifféremment pair ou impair; dans lesecond cas, q' peut être un nombre pair quelconque,positif, négatif ou zéro, d’où

- + q ~

\T~ ,=_ (~ 0 "

^_ £

p'peut donc être indifféremment l’un des-nombres

o, 2, 4, 6, etc., jusqu’à n — 2 , et comme en outre il

peut être positif ou négatif, il s’en suit que \/~ f-i admetn valeurs différentes, correspondantes aux n valeurs

p‘

différentes du facteur (—1) TT; parmi ces n valeurs , ily en a- qui sont données par les valeurs positives de p ',

et - par ses valeurs négatives, c'est-à-dire, qu’on a

» +Pl

v'+i (—1) »

* P±

V+« = (—I y. (—1) "

p pouvant être d’ailleurs pair ou impair.

Eu faisant p pair, (— \)P devient (—f-1), et en le faisantimpair, (— i)p devient (—1). Chacune de ces supposi-tions fournit bien n valeurs pour V /+ 1 } mais el l® s sontles mêmes, et y/-|-i n’admet que n valeurs réellementdifférentes.

Si n est un nombre impair, p' peut être encore unnombre pair quelconque plus petit que n, positif, néga-tif ou zéro; alors p est nécessairement pair et l’on a

»_ p±

V+l =(-!)""

p

e qui ne donne encore que n générations différentes

Poury/_j_ j > puisque des ^~ I valeurs qui résultent decli

acune de ces expressions, celles qui correspondent àP = o, et à —■ p' = o sont identiques et égales à+ 1.

Quant aux racines de l’unité négative, il se présente

q étant nécessairement impair. 11 est visible que dansl’un et l’autre cas y/-i reçoit n générations diffé-rentes.

De toutes ces valeurs des racines de l’unité positive etnégative, il n’y a évidemment de réelles que les valeurs+ i et — 1 ; toutes les autres sont imaginaires. Ainsi,lorsque n est pair, \/—j—1 , a deux racines réelles -j- 1et — 1 et n — 2 racines imaginaires ; et y/ —1 atoutes ses racines imaginaires ; lorsque n est impair,y/ 4-1 a une seule racine, -j- 1, réelle, et « — 1, racinesimaginaires ; et \/—1, a une racine réelle — 1 , etn — i racines imaginaires. C’est ce que l’on reconnaîtfacilement à l’inspection des formes générales qui pré-cèdent.

pj_ _£

4. Les quantités ( — 1 )™ et ( — 1) n pouvant tou-jours se ramener à la forme

Art By/—1

_+2l

puisque (—1) " = (y/ —1) " , il est évident quetoutes les racines dites imaginaires de l’unité pour-ront être ramenées à la même forme, et qu’on peut po-ser en général

p_i _

(—1)^. (—1) » =«+&y/—1

et

_pL _

(—!)P.(—x) " =

£

les racines données par l’expression (—1 )p.{ _ )»ne devront différer de celles données par l’expression

(— 1 ) p ( — 1 ) "que dans le signe de la quantité

y/ 37 .

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