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nombres dont la connaissance est la plus ancienne. D’a-près quelques aperçus consignés dans l’ouvrage d’Eu-clide, on voit que des recherches assez étendues avaientété déjà faites, avant lui, sur les propriétés des nombres ;et ce qui nous reste de Diophante n’est qu’un traité d’a-nalyse indéterminée qui renferme des questions difficilesrésolues avec une grande adresse. Il paraît également, d’a-près un & Algèbre indienne , publiée il y a peu d’années,que les Indiens sont depuis très-long-temps en possessionde diverses connaissances sur cette branche de la scienceet que dès le 12 e siècle ils avaient découvert des règlespour la solution de certaines équations indéterminées.Quoi qu’il en soit de cette antiquité de la Théorie desnombres, ses véritables progrès ne remontent pas plusloin que le temps de Yiète et de Bachet de Meziriac.C’est à ce dernier que l’on doit la première solution gé-nérale de l’équation indéterminée du premier degré.
Bientôt après, Fermât , l’un des plus grands géomè-tres de son siècle, fit faire un pas immense à la théoriedes nombres, en découvrant un grand nombre de théo-rèmes intéressans, dont la démonstration de quelques-uns occupe encore les mathématiciens modernes ; car,d’après la coutume des géomètres du 17 e siècle qui ca-chaient leurs méthodes pour se proposer des défis, Fer-mât publia ses découvertes sans les démonstrations etparmi celles qu’on a retrouvées dans ses papiers , il està regretter que les plus importantes manquent.
Euler , dont le nom s’attache à toutes les parties desmathématiques, ne pouvait laisser la théorie des nom-bres dans l’oubli qui succéda tout à coup à l’espèced’enthousiasme qu’elle avait excitée jusqu’à la mori deFermât. Oubli assez naturel alors, puisqu’il était causépar la direction nouvelle qu’apportait aux géomètres ladécouverte du calcul différentiel. Dans de nombreuxmémoires, publiés dans les commentaires de St.-Peters-bourg, Euler a étendu nos connaissances sur les nom-bres et on lui doit une foule de découvertes, parmi les-quelles nous devons citer la résolution générale des équa-l 'ons indéterminées du second degré, dans le cas où l’onc °nnaît d’avance une solution particulière. Enfin La-grange, Legendre et Gauss , parleurs travaux ultérieurs,°nt amené la théorie des nombres à un degré de déve-tappement égal à celui des autres branches de l’algèbre.
C’est Gauss particulièrement qui a donné une formes ystématique à la théorie des nombres , en introduisantda “s la science la considération du principe de con-8 r uence (voy. ce mot), dont nous exposerons ailleursta déduction philosophique [Voy. Théorie des nombres).^ 0us nous bornerons, dans cet article, à faire connaîtrea résolution générale de l’équation indéterminée duSe “°nd degré , due à Lagrange ; celle de l’équation duPremier degré ayant déjà été donnée aumot Congruence,lo.) Quant aux équations des degrés supérieurs au
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second il n’existe point encore de méthode généralepour les résoudre.
I. On peut toujours ramener une équation du seconddegré à deux inconnues à la forme
x 1 — M y* - N
car, cette équation entièrement complète étant ( Voy.Equation , 6.)
ax* -\-bxy -\-cy r -\-dx-\-cy J'—onous pouvons d’abord l’écrire
ax’ -j- [by-\-d)x =3— — dy—f
t
Multiplions ensuite les deux membres pai' 4 <z et ajou-tons de part et d’autre la quantité ( by -}- d )’, nousaurons
t±a'x'+na{by+d)x+{byi r dy={by+d)'—l i a(c} , J t .ey+f)
mais, le premier membre étant un carré parfait, eu ex-trayant la racine, il viendra
2 ax-\-by -\-d —\/^( 6 J+^)* -^{cy'+er-Yf )j
— \/ ( ( 6 »— {ac]y‘-\-l{bd—-iae]y
-)-£&— 4 «/ |
ainsi faisant
b' 1 — 4 ac — A
bd—lac = g= h
et désignant de plus le radical par t , nous obtiendronsles deux équations
"xax-\-by-\-d — tA y + agy + h = t*
multiplions maintenant la dernière par A, elle de-viendra.
k'y'-\-igky-\-kh = ht'
ou, encore ,
A>' , + 2 £ i \r+S"+A/i—g* = Ai*
c’est-à-dire,
(Ar+g)*— A * ! =£’ —AA
faisant donc
A r+s = “
g 1 — A h — B
nous obtiendrons définitivement
m’ — Ai 1 = B
ce qui est la forme en question.En remontant à x et y, on a
r =
U—g
A ’
t — by—d
2 a