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d’où l’on voit que tous les nombres qui satisferont à la

transformée, donneront immédiatement la solution de

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l’équation générale.

3. Les nombres u, t, pouvant être des nombres en-tiers ou fractionnaires, si nous les supposons réduits aumême dénominateur, ou si nous faisons en général,

la transformée deviendra

x 2 —Ay* = Bz* (

dans laquelle x , y et z sont des nombres entiers. C’estdonc cette dernière qu’il s’agit de résoudre.

3. Nous supposerons de plus, i° que les nombres x,y, z sont premiers entr’eux, ce qui est toujours possible,puisque dans le cas où ces nombres auraient un commundiviseur, on le feraitdisparuître en divisant; 3 ° queAetB n’ont aucun diviseur carré; car dans le cas contraire,si, par exemple, on pouvait poser A = AV, B = B'/3*;en faisant ay =«y' et |S z = z' l’équation deviendrait

*•—Ay=BV»

et réunirait alors les conditions demandées.

Cela posé, il est évident que deux quelconques desquantités x,y , z ne peuvent avoir aucun facteur commun,car si n divisait x et y , par exemple, n 2 diviserait x*et y 1 , et devrait conséquemment diviser Bz’, mais n 2 nesaurait diviser z 1 , puisque x , y, z n’ont point de com-mun diviseur ; il ne saurait non plus diviser B puisquece nombre n’a pas de facteur carré ; donc x et y sontpremiers entr’eux et il en est évidemment de même dea: et z et de^ et z.

4- Soit donc proposée l’équation ( 1 )

x '— hy* — Bz*

ayant toutes les conditions énoncées ci-dessus et dans la-quelle nous supposerons en outre A et B positifs etB>A. Cette dernière condition est toujours possible,puisque l’équation proposée peut se mettre sous laforme

< x* —Bz’ = A y*

c’est-à-dire, qu’on peut prendre pour second membre leterme qui a le plus grand coefficient.

Or, si l’équation ( 1 ) est résoluble en nombres entiers,comme les valeurs de x sont dépendantes de celles dey, nous pourrons donner aux premières la forme

* =ny —B y

» et Ÿ étant deux ®«ntités indéterminées. Substituant

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cette forme à la place de x dans l’équation ( 1 ), nous ob-tiendrons , après avoir divisé par B, (a)

Q~Y~)y'—^ n yy' + sy*=»*

mais B et y sont premiers entr’eux, car tout diviseurcommun entre B et y* diviserait x* et nous avons vuque x et y sont premiers entr’eux ; ainsi l’équation (3)

ne peut subsister si f—g —J n’est pas un nombre en-tier. Faisons donc cet entier, que nous apprendrons plusloin à déterminer, égal à BV, k 2 étant le plus grandcarré qui puisse le diviser et (3) deviendra (4)

BVy — 3 nyy' -j- B y' 1 — z 2 .

Faisons dans cette dernière, après l’avoir multipliée parBV,

B ’ky — ny' =x' , kz — zelle deviendra

x' 2 — Ay* = B'z'*.

transformée exactement semblable à la proposée, maisdans laquelle B' sera plus petit que B. En effet, s’il y aune valeur quelconque de n qui rende n* — A. divisiblepar B, en ajoutant à cette valeur un multiple quel-conque de B, ou en le retranchant, zh/i B ■— A sera

aussi divisible par B ; ainsi on peut supposer que la va-leur de n est comprise entre les limites o et B , et mêmeentre les limites plus étroites o et 4 B ; donc n étant——A.

plus petit que i B, -g^y- ou B' sera <^B, etenmêmetemps positif.

Si l’on avait encore B']> A, on pourrait, en opérantde la même manière, transformer

x' 2 — A/ 1 = B'z'»en

x"—A y" 2 = BV*

dans laquelle B" serait < j B', et toujours positif. Dansle cas où l’on aurait aussi B" ]>A, ou continuerait cesystème de transformation jusqu’à ce qu’on soitarrivé àune équation

x 2 — A y 2 — Cz*

telle que C soit plus petit que A.

Alors après avoir fait passer dans le premier membrele terme qui a le plus petit coefficient, ce qui donne

x 2 —» Cz* = A y 2

On procédera, comme ci-dessus, à la réduction ducoefficient A, jusqu’à ce que l’on trouve uue transfor-mée