IN
AU IN
En intégrant de part et d'autre, il vient
x n :
.Æ-il
■I—1--i 2 .2x n —»
‘ 1.2
, nln —1)(«—2) ,
-4- _i- ù- L i*zxn -3
1 1.2.3
-{-etc.
Cette expression ferait connaître l’intégrale dex m si l’onavait celles dex"* - *, x m ~ 2 , x m ~ 3 etc. Car en y faisantn —i=m, et en dégageant Xx m , on obtient (1)
ix m =
x m +i
(m+ï)i
m .
— l 2 X m — 11.2
+
+
m[m —1)1.2.3
i 2 2x"'— 3
m{m —i)(t;î—2)
1.2.3.4
iHx m ~ 3
4- été
Faisant successivement dans cette dernière m=o,m=i, nj = 2, etc. et substituant dans chaque valeurcelles qu’on a obtenues précédemment, on trouvera
2x° =
2a: =
2x 2 =
2x 3 =
2x 4 =
Sx 5 =etc =
x
i
1 x 2
2 i1 x 3
3 T '1 x 4
4
I X 5
57 '
1 x 6
6 «
etc.
1
- x
2
« , - 1
- - xM-- xi
2 1 2.3
1 , , 1
- - xM-x’i
2 2.2
- - x 4 + ^ x 3 i —xi 3
2 3 5.6
1 . . 5 .. 1
■ - x b H-% x 4 t-^ x*r
2 2.6 2.6
4. On peut obtenir l’expression générale de 2X"» sanspasser par les sommes 2X" 1- ‘, 2x m—2 , etc., en se servantde la méthode des coefficiens indéterminés. En effet,nous pouvons poser
2x m = Ax m +' -j-Bx m -{- Cx m — 1 Dx* -J -{- etc.
car telle est évidemment la forme de la génération de cesintégrales. Or, en prenant la différence première dechaque membre, ou trouve
x” , =A. fo— - x m i
i i.a 1 1.3.3
etc.
1 ,, nt ., — 0 _ ... , .
-{- B — x m —u4-B—- - x m ~ a i 2 4-etc...
I 1.2
4- C - m • ^ x m ~ > i -|-etc...
4- etc...
comparant entre eux les termes affectés d’une mêmepuissance de x, on découvrira entre les coefficiens in-déterminés A, B, C, etc., les relations suivantes, quiserviront à les déduire facilement les uns des autres ,
(/7ï—f— I
b = _ a
2 2
C = — A (" z + 1 )”" a _ b —
2.3 2
D = — A ("H-'M"»—^O* ' 3 c (m— Qi
2.3.4 3.3 2
etc =3 etc.
Eu effectuant le calcul de la partie numérique de cescoefficiens, on obtient (2)
2x m =
X m + l
x m
. 1 mi i m?\—' ,
+2T*"- 83-3Ü-*’-*
. i m 5 l—> ... 3 m 7 \—» .
4- T. -si— J 5 x m — 5 - g; — I7X”*— 7
6.7 i°U 10.9 I 8 I*
. 5 /n9l— 1 . 6qi ».
4- - —— i 9 x m - 9— ——;—11 i,r»—11
'6.11 i 10 ! 1 210.i3 i”! 1
35 /n' 3 l—»., , 36 it m |5 l —•. r s
4-= —_il3 Æ m-l3_ - L 15
■ 2.i5 1 *41* 30.17 i‘°l'
, 43867nj!7l— 1 . i222277»i'9l- , . 1 „ <0
4-4 --57— i l 7 x m ~ I 7 --: i“>x'»-‘®
43.19 I , 8 I‘ 110.21 I»0|l
4* etc.
nous nous servons, pour abréger de la notation des fac-torielles ( Voy . ce mot).
5. La différentiation d’une fonction de quantitésconstantes et variables faisant disparaître les quantitésconstantes qui entrent dans son expression et qui ne sontpoint facteurs des variables, il faut, en intégrant, ajou-ter une constante arbitraire que la nature de la questiondonne ensuite les moyens de déterminer. On a, parexemple , A et B étant des quantités constantes,
A [A-f-Byx] = BA<j>x
Ainsi, lorsqu’il s’agit d’intégrer BAyx, comme toutetrace de la constante A a disparu dans cette expression,dont l’intégrale est
2BApx = B2A <fX = B <px
il devient nécessaire, pour compléter l’intégrale, de luiajouter une constante indéterminée; on écrit donc
2BA0X = B<px -j- constante.
Dans un grand nombre de cas cette constante peut êtrezéro, mais dans d’autres elle change entièrement la va-leur de l’intégrale, et il est toujours essentiel d’en tenircompte.