m
IN
1 lo
6. L'ü iégration que nous venons de donner de lafonction élémentaire x m , renferme le principe de cellede toutes les fonctions algébriques rationnelles et en-tières, dans lesquelles la variable indépendante reçoitun accroissement constant.Proposons-nous, parexemple,d’intégrer la fonction
i
A„-f-A I .r-)-A.a; 1 +A. 3 .r 3 .
nous avons
cette dernière la base x — ni par x, nous obtien-drons (5)
i)t
- rr -4- constante.
x n ~ i \' 1
Dans le cas où nous considérerions les différences à ac-croissemens négatifs, comme alors la différence de x m \‘lest simplement,
Ax m l» =s mix m ~ i 1 * I
ïfAo+A.x-J-A.x’+Aax 3 ] = A„2;c°+A I 2x'
4-A > 2x 1 +A 3 2x 3
Ainsi mettant pour 2x°, 2x*, 2x% 2x 3 , leurs valeurs,nous obtiendrons
IfAo-j-AiX-j-A.x’-j-Asx 3 ]
Ai 3 —3A,i-4-6A
= — -7T7 — - - x
bi
. A,i a —aA.i'-l-eA,
+ -i - y——— x*
4‘
3A 3 i— aA a ,-- x 3
6 i
4- —a: 4+ 4*
+ constante.
7. L’intégration de la factorielle x"l*, lorsqu’onprend l’accroissement delà différence égal à celui de lafactorielle, présente moins de difficulté que l’intégra-tion de la simple puissance x»>. En effet, nous avons(Diff. 11.)
Ax™l< =5 I I»
d’où, en intégrant,
les formules (3) et (5) deviendront (6)
2x n l‘ = -- consl.
1 1 ,
2 r . - r—, r-r - , 4- COKSt.
x n l* (ft+i)i(x—
Nous verrons ailleurs des applications très-importantesde ces intégrations. ( Foy . Sommatoire.)
8. Passons à l’intégration des fonctions transcen-dantes. La différence de la fonction exponentielle a x ,est (7)
àa* = a x [ai —i)
Car on obtient cette différence en faisant varier x et enretranchant la fonction primitive de celle qui a reçul’accroissement (Diff. 7), ce qui donne
A a x = a x +' — a x =a x (a* — i).
Ceci posé, en intégrant les deux membres de l’égalité(7), nous avons
a » = 2 |a x (a‘— 1 )| =(a‘— i)2a*
x m \‘ =j mi 2 (x-|-ï)" , —*I*égalité qui donne immédiatement
jçm |*
S(x4-i)'»-i|‘ = —-.
K ' ' mi
faisant m — 1 = n, et x -J- i = x, cette expression de-v ient définitivement (3)
d’où (8)
a x
g. Les intégrales des fonctions circulaires sinx, cosx,s’obtiendront par un procédé semblable au précédent.Nôus avons
Acosx = cos(x-)-i)—cos j
/ - j\n l|(
2x n l‘ = .. 4- constante.
(n-fi)i
tt te de est l’intégrale générale de la factorielle x n l‘,*F* e l que soit l’exposant n entier ou fractionnaire, positif° u négatif.
Dans le cas de l’exposant négatif, la formule (3) de-vict *t(4)
2 -*—— —-ï—-
, {x — m) n 1* (n—1 )i(x— ni) n — 1 1<
u c ause de
cc—«li-—.
,- r-r., (X - i)~ »+«l«=--r-rj
(X KJ)"I‘’ V ' ( X —
(^oy. Factorielle 6.) Représentant, de nouveau, dans
et par suite (9),
A cos x = — 2 sin ÿ. sin (x-\-^i.)à cause de la relation générale( Foy. sinus)
cos A — cos B =— 2 sin 4 (A—B). sin-î(A-(-B)O11 tire de l’égalité (9),
A cosx
sin asin’i
ce qui devient, en remplaçant x -j- i» para:,
A cos (x— y)
sinx =-:- r.—.
•j. sin -jt
On obtient donc, en intégrant, (10),