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premier degré de x 3 — ax’-a’x-f-a 3 ; ainsi divisantcette quantité par x — a, le quotient x 1 — a 7 , qui estimmédiatement décomposable en (x — a)(x-\-a), feraconnaître les deux autres- Nous avons donc

x 1 _ _x*_

x 3 — ax’ — a’x-^a 1 ( x — a.y[x-\-a)

Ainsi nous supposerons (a)

_x*_ = _A_ B C

(x— af(x-\-a) (x—a) 1 ‘ (x — à) (x+«)'

IN

de Lacroix. Occupons-nous de l’intégration des fonc-tions irrationnelles.

Le procédé fondamental de cette intégratiou consisteà transformer les fonctions irrationnelles en d’autres quisoient rationnelles, ou du moins en une suite de mo-nômes irrationnels, car ces derniers peuvent toujoursêtre intégrés à l’aide des formules (19) et (20)

Soit, pour exemple,

5 «_

(a\/x — b y'cx 3 )dx

En mettant cette fonction sous la forme

Réduisant le second membre au môme dénominateur,nous obtiendrons pour la somme des fractions partielles

A(x+a ) -f- B(x— a)(x-\-a) -f- C f x —a) 1

(x— a)%x+a)

ou, en développant,

1 11

ax 3 dx — bc* ,x*dx

Chaque terme peut être immédiatement intégré etcomme d’après la formule (19) on a

/a

3 Ax 3 dx x 3 ,

4

Aa—Bq*-(-C rt a -HA— iCa)x -f- (B-}-c) x»

(x—a) 2 (x-f-a)

Comparant le numérateur avec celui delà proposée etégalant entre eux les coefficiens des mêmes puissancesde x, on obtient ces équations de conditions

A a — Ba 1 -f- Ca* = oA—2Ca = oB + C= 1

d’où l’on tire

au moyen de ces valeurs l’égalité (a) devient

x 7 dx adx , 3 dx , dx

(x—a)'(x-j-a) = 2 (x—a) 1 ' 4(x—a) ‘ 4(x-j-a)

l’intégrale cherchée sera donc

s * _ 3 s 4 1 *

( a\/x — b\/cx 3 )dx =^-a.\/x 4 -f- r _b\/c.\/xT-\-C

3 * 4 4 —

= ^a.y/x 4 -f- ^éy/cx'-j-C

29. S’il s’agissait d’une fonction fractionnaire

^-bV^dx , OU4 5 1 i|

V/x-j-cy/x xl-j-ex 3 "

on réduirait les exposans fractionnaires à leur plus pe-tit commun dénominateur, et, ayant trouvé que cedénominateur est 12, on ferait

x = z ,J , d’où dx =■ 1 'iz"dz

Intégrant chaque terme en particalier par les métho-des précédentes, nous trouverons

x 1

7,^ .

1

/i

-- =--— + y. L(x—a)

(x—a)*(x+«) 2 (x—a) 4

+ IL(x+«)+ C

28. Nos limites ne nous permettant pas d’entrer dansde plus grands détails sur la décomposition des fonc-tions fractionnaires en fractions partielles. Cette théorieextrêmement importante pour le calcul intégral, doitêtre étudiée dans l’ouvrage d’Euler , Y Introduction àl’analyse des infiniment petits , ou dans le grand traité

substituant ces valeurs dans la fonction proposée, elledeviendrait

ai r'— bz 6 . I 2 . 7 Z' 5 —1 2bz l t ,

- — \2z"dz =-^- —dz

z* —cz 4 z—cz 4

ou, définitivement, en retranchant le facteur com-mun z 3 ,

naz ' 1 — \ 2bz li

ï+cs

dz