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IN

celui de la proposée. Egalant donc entre eux les coeffi-cicns des mêmes puissances de x , on aura

B—A —C — b, Ba-j-Ca = o, A a'—a 3 .

La dernière équation donne A =a, et cette valeur sub-stituée dans les deux premières nous fait trouver ensuite

IN

on formera les fractions partielles

A+B-r+Cr*.. .-j-Ms— t

(x — a)” ’

A'+B'x+C'x*. . . + M'ay»-»(x — b) n

Jt'L _Ë!_ c ’

x — c' x—cC x —e ’ e ^ C "

B- £±*,C = -^j

2 ’ 2 7

mettant les valeurs de A, de B et de C dans l’égalité (28),on trouve

(a 3 -j-Ac 2 )r£r adx , (a-\-b)dx ( a-\-b)dx

a'x —a: 3 x ‘ 2(a— x) a[a-\-x)

donc, en intégrant

dans lesquelles A, B, C, etc., A', B', C' etc, A", B",C", etc. seront des coefficiens indéterminés, dont ontrouvera la valeur en réduisant toutes ces fractions aumême dénominateur et en prenant leur somme qui doit

être identique avec En égalant les coefficiens desmêmes puissances de x , dans le numérateur de cettesomme et dans U, on formera les équations de condi-tions nécessaires pour la détermination des quantités A,B,C, etc.

r{^±b^)dx = ^ _ (a+bjJ a\r— x 3 2 ,

_(ît^L(a-fx) + C

= ahx — (a-j-t)Ly/a 2 — x* -j- C

On peut encore, ce qui est plus simple, substituer auxfractions dont les numérateurs sont composés, une suitede fractions simples et dont les dénominateurs procè-dent par puissances décroissantes depuis l’exposant mou n jusqu’à 1 ; c’est-à-dire qu’on peut remplacer lesdeux premières fractions ci-dessus par les deux suites defractions

27. L’iutégration des fonctions différentielles ration-nelles et fractionnaires repose donc sur la décompositiondes fonctions fractionnaires en fractionspartielles, décom-position qui repose elle-même sur celle du dénominateurde la fraction en ses facteurs du premier degré. Lors-que cette dernière décomposition peut s’effectuer l’inté-gration n’a aucune difficulté et l’on peut toujours opé-rer comme nous venons de le faire ; dans le cas cepen-dant où tous les facteurs du premier degré sont inégaux ;car si le contraire avait lieu, cette méthode ne pourraitplus servir, ou du moins il faudrait lui faire subir desmodifications. Sans entrer dans des détails de démon-stration qui nous mèneraient trop loin, nous allons résu-mer le procédé qu’il faut alors employer.

+

B

C . t . „ . M

—-fetc.jusqu a-j

x—a

(x — a) m 1 {X‘ — a ) m ~ 1 (x — a ) m — 1

A' B' . C' . . ,, , M'

(x—b) n (x—b ) n ~ 1 ■ by >—»"^" e C ‘ J us< ï u

Eclaircissons ce procédé par un exemple. Soit à inté-grer la fonction

x*dx

x 3 — ax *—a’x-f-a* ’

pour trouver les facteurs premiers du dénominateur,remarquons en général que si ces facteurs sont (x —a),(x—| 3 ), (x—<?), puisqu’on doit avoir

y-, étant la fraction rationnelle, supposons que les

facteurs premiers de V soient (x —.a), (x — b), (x — c)etc., ou que l’on ait

X" — ax* — a?x -f- a 3 = (x — d)(x —| 3 )(x— â)

les quantités a ., / 3 , â ne sont autre chose que /es racinesde l’équation

U__U_

V (x— a)(x — b)[x — c){x — d).. etc.

51 parmi ces facteurs, il s’en trouve d’une part m égauxeutre eux, de l’autre», et que les autres soient inégaux;Si > par exemple , on a

U_U_

V (x— a) m .(x — b) n .(x—c)(x — d)... etc

x 3 — ax 1 —cfx -f- a 3 = o

( Foy. Equation , i5). Ainsi pour trouver les facteurs

premiers deV, dans la forme générale ÿ, il faut faire

y—o et chercher les racines de cette équation. Dans lecas qui nous occupe il est facile de reconnaître qu’unedes racines esta, car'en faisantx=a, le premier mem-bre se réduit à zéro, x —a sera donc un des facteurs du