-126 IN

Pour donner au moins une application de la formulegénérale, proposons-nous la fonction

æ x dx

ici, nous avons,

<fX=X % , < 2 = 1 , b =2 , c’= 4par conséquent

m

<px.dx

\/a-\-bx —ex*

la transformation précédente introduit. dans l’inté-grale des quantités dites imaginaires {J^oy. ce mot.) Eneffet, dans le cas le plus simple, celui de <px=n, la fonc-tion transformée (28) est

_2 dz _

— b- j-2z \/—c

x =

1—z» 1—z»

4Z—2 2(2Z-1)

et son intégrale étant

et

tz = r_lr*‘ T- I ~ ctzJ + z4

y U(2Z-l)J

V^_1.L (-b+ 2 zy-c),

i)J 4(4s 1 —4z+i)

La transformée (28) en z, sera donc

4 z 5 —z 4 —8z 3 -j-2z J -j-4z—1 j2(4z’-4z+i) — dx '

ce qui donne, en effectuant la division,

— - U 3 + 7 z 1 — - z -f- - |~ f + 'l | dx

2 ( 4 2 16 1 4z J —4z-fi )

quantité dont l’intégration ne présente aucune diffi-culté. On trouve pour l’intégrale totale, en opérantterme par terme, l’expression

_I f L *4 _1_ i ,3 ^, .i. '9, 9

2)4 +4 4 + i6 z 3^7z=7)

+ ^ L (2Z—I ) | + C

Le dernier terme , qu’on peut mettre sous la forme1 - 4 *+' dx

on a ( 3 o)

/ dx

\/a-\-bx — ex 1

= 1 . L j^2(rt-)-ix — cx x )i. \/ — c-j-2CX — ij.

Cette intégrale peut être ramenée à un arc de cerclepar une autre transformation très-simple. Faisons

x=u -1-

2C

Nous aurons

V a -\-bx—cx'=

=[ a +ifc- cu 'T

et, par suite

dx

du

l6 (2Z—l) J

s’intégre par la méthode (n°2<j) des fractions rationnelles.Ainsi substituant pour z sa valeur

y' a-j-bx—ex

: ]

2 c

— 2X-f-\/1 r(-2a--)-4x ï

nous aurons, dans un nombre fini de termes, l’intégralede la fonction irrationnelle.

x z dx

_ VW+ïâê)‘ d U' 4 c’ TT

M. 1 è’+4ac“ J

En remarquant que cette dernière expression est dola forme

A..

adu

\/1 —}— 2 ar-f- 4 ' 2 ^ ’

3 i. Lorsque le coefficient c est négatif dans la quan-tité radicale \/a-\-bx-\-cx 1 ou lorsque la fonction quenous venons de considérer est

\/i—a’u’

et que l’on a ( Voy. n° 21)adu

. C—JLJL= =k.arc (sin=au)J \/\—X x U x