IN

on en conclura (3i)

/

dx T ' <icu

\/a-\-bx — ex 2 \/e ' \//i 2 -)- 4 «c

i / 2 ex—b \

. = ——.arc[ sin == -.— 7 == )

y/c v \/b*-\-l±ac/

+ constante.

! /- icx—b N

=- arc [ cos =—==- —— |

V/c V

+ constante.

La comparaison des deux valeurs si différentes quenous venons d’obtenir pour l’intégrale de

dx

IN

Ainsi, puisqu’on a

<ÏCU 2 ex—b

= cosp,

yb*-\-^ac V // -' a +4 ac

(, _4£V_Y= fl - ^=^Y=*inp

\ i’-l-4 ac / V 6 a -j-4 ac J

l’expression (a) se réduit à

L [v /Z ' J +4“ c (cos/r -f- sin^y/—i j =

V — 1

L(v///'+ 4“f)+ L(cos;*+sin^V / — ' )

et comme il y a un terme constant, en l’ajoutant à laconstante arbitraire on obtiendra la forme (32)

Nous avons donc

y/a*j-ùr— ex 1

fait connaître quelques propriétés singulières des quan-tités dites imaginaires , car en désignant par^t l’arc dontle cosinus est

2 ex—b

V-

L (cosjx-)-sinuY/—i j-j-C"

ou, posant

d’où

COSp =

y b 2 -|- 4 ac%cx—b

\/b* -{- î^ac

sinp=(i—cos 2 p)i_fi (a x— byii

L * 2 +/i«cJ

on peut donner à l’intégrale logarithmique la forme ( 3 a)(cosf»+sinf*y/=7)-f C

tandis que l’intégrale circulaire est simplement— 4-+ C’

Vc

En effet, pour donner à l’intégrale (3o) la forme (32),Mettons y a P' ace de x, elle deviendra

\/_i. L [ 2V / C

ce qu’on pourra transformer en (a)

v~

Ve

- L [v^+4«e. j (i -îqr^)*. \/-*

y/e y/c

C" représentant la quantité constante qui résulte desconstantes arbitraires des deux intégrales. Mais cetteconstante est zéro, car en faisant l’arc ft=o; il vientcos [i=i, sin/*=o , et cette dernière expression donne

o=o+C" , d’où C"=o

Nous avons donc définitivement, en multipliant lesdeux termes par y/c et par y —i, l’expression remar-quable (33)

ft y —i=L(cos|i-j-si u f t \/— t)

32*. Si l’on fait dans cette expression p=irc-, tt étant lademi-circonférence du cercle dont le rayon est l’unité .comme alors cosj7r=oet siu}îr=i • elle devient

^ 7 : V—-* =L( V~ ! )

ce qui nous donne nne des générations idéales du loga-rithme de la quantité dite imaginaire y — i.

Cette même expression (33) ramène à la constructionthéorique des fonctions sinus et cosinus ; car e étantla base des logarithmes naturels , on a en général

e^*=a

Ainsi

^(coS^+sin^V— , )=COS 1 !*+sin(tV—Iet par conséquent

■ acM —n

‘ yb % -\-tyac)}

eP-V ^cosp-f-sinfty/—i

( Voy. Sinus.)