136 IN *

! J'J'fxdx 2 = J'fx.dx-,

mais

ainsi

J'fx.dx =fx.x — J'x.dfx ,

= x. 'J'yx.dx—J'x.yxdx.

pxdx 2 =x J "* tfxdx — J x.oxdx.

A l’aide de cette valeur, on peut trouver ensuitecelles de tous les autres ordres d’intégrales, car la sub-stituant dans

j' 3 yxdx 3 = dx 2 yxdx 2 .

il vient

J 3 <?xdx 3 =J'xdx J' ^xdx — J dx J'x.tfxdxmais

xdx J <fxdx z=i-X 2 J' d(XaX — - J’'x’tpxdxdx f xfxdx= x J*xcpxdx — Jx 2 <fxdxet, par conséquent,

J ' 3 y xdx 3 J* <fxdx—%x 'J^xyxdx

-j- J'x 2 <pxdx j

IN

f <pxdx"=^ r{ïl [x'”-'J'<fxdx

—(ni— \)x mw J Xfxdx

-)- ^ x m ~ 3 x'fxdx

— * x™-*'J'x\xdx

etc. J

Il ne faut pas oublier d’ajouter à chaque intégrale uneconstante arbitraire , parce que ccs constantes sont af-fectées de diverses puissances de x, et demeurent irré-ductibles entre elles. Par exemple pour intégrer par cesformules la fonction x m dx 3 , on fera, dans la troisième,<fX=x m , et on trouvera en effectuant les intégrations.

/y W+I

ar»rfr = ±—- 4-C.

»t+i

/ /» Y m +a

x.x’“dx = / x m +'dx = —--(- C'.

J m+2

/f* ,r"*+3

x 2 . x m dx—J x"‘+ 2 dx — ^ g -(- C".

substituant ces valeurs dans la formule, il viendra

/ , , , i [x”‘+3 ix»‘+3 -,

3 x m dx 3 — - -:--j- 2 C X

2 L"*+ 1 WJ-f-2

+

x"‘+ 3m -}-3

: w .j

OU

/

3 x’»dx 3

: 7—r » i v , ^ +-Cx ; —C'-r-j-'C",

En continuant de la môme manière on formerait cetableau : (5o)

J<}Xdx = \xdx^' , <fxdx 2 —^x \xdx — J'y xdx j'j % 3 <fXdX i = -^-^X 2 J'f xdx—IX J'XIf xdx

j + x'yxdx j

I

J i fxdx i —-^-^x 3 J'<?xdx — Zx 2 J'x<fxdx

4 - 3x J'x 2 <fxdx— J'

etc. = etc

Et, en général,

parce que

a: m + 3 : jx m + 3 , •r" l + 3 ix m + 3

771-1-1 7/i-f-2 777-1-3 (7/»-f-13j '

Celle valeur de l'intégrale en question est identiqueavec celle que nous avons trouvée dans le numéro pré-cédent, car le signe de la constante C' est arbitraire, etC" ou 1 C" désignent égalementuneconstantearbitraire.

Nous nous contenterons de cet exemple qui nous pa-rait suffisant pour indiquer l’emploi des formules (5o) etnous passerons à l’intégration des fonctions de plusieutsvariables, dont nous devons donner au moins une idéepour compléter, autant que nos limites nous le permet-tent, l’exposition du calcul intégral.

54. Nous avons vu (diff. 5i) que la différentielle to-tale , d’une fonction de plusieurs variables indépen-dantes , est égale à la somme des différentielles prisespour chaque variable en particulier comme si toutes lesautres étaient constantes. Par exemple, u étant une