IN

le point placé sur x indiquant la valeur a qu’il faut don-ner à cette variable après les différentiations.

On trouverait une autre expression de la même inté-grale en partant de fx—f[x—m) et en faisant ensuitex—b, et m=b — a. Elle est (48)

/:

yx.dxi

.(*-

=fX —

-a)

dyx(b — a)* d 2 <fcc (b —a) 3dx 1.2 ' dx 1 ' 1 . 2 . 3

Le point placé sur x indique ici qu’il faut faire x=b,après les différentiations.

5i. Les séries ( 47 ) et (48) sont en général d’autant plusconvergentes que la différence b—a est plus petite; lors-que cette différence est trop considérable on peut la par-tager en un nombre quelconque départies susceptibles deformer des différences suffisamment petites, et ensuite oncalcule à part la valeur de l’intégrale relative à chacunede ces différences; mais tous ces détails sortent de no-tre plan, et nous devons terminer ici ce qui concernel’intégratiou du premier ordre, en faisant connaître laformule remarquable de Jean Bernouilli ,au moyen delaquelle l’intégrale d'une fonction différentielle quel-conque yx.dx est donnée par les différentielles succes-sives de la fonction yx.

La fonction différentielle tpx.dx étant décomposéeen ses deux facteurs çxct dx, si l’on intègre le second,ou a, par le procédé de l’intégration par parties,

, IN 135

Ainsi en désignant par fx, l’intégrale de cette fonction,ou a l’équation

dmfx — yx.dx m

et, pour obtenir la valeur de fx , il faut effectuer ni in-tégrations successives sur la fonction <px.dx m , caron aévidemment

d m —fx = J' yx. dx md' n —*fx = 'j' <px.dx m

d m ~fx = J'J'J'çx.dx™

etc. = etc.

d’où l’on voit qu’à chaqne intégration on diminue d’uneunité l’ordre de la différentielle de fx , et qu’après niopérations, on obtient

fx — J^ n <pxdx m

Si, par exemple, la fonction proposée était x m dx ?,une première intégration donnerait

/ /*

x m dx 3 =dx: 2 / x m dx=dx i — : -1- dx* . G

J m-J-i

^ çx.dx — ipx.x — fx.dtpxet, par suite, en vertu du même procédé ,

/x. f^xdx^-x* if— 1 - fx^f

'J %J dx 2 dx 2 c/ dx

T *= f- 9 *.x’dx= x 3 '-^-' Cx 3 - 9 *

J dx J dx * ’ 3 dx % 3 J ‘ dx’ 1

= f'~ 9X x^dx-J 1 fx id ' 9X

'J dx 1 J dx 3 ‘ 4 dx 3 4 J rte 3

r x 4 . 1 V = x u x= i

J dx 3 J dx* 5 dx* 5 J " dx 4

etc. :

etc.

Substituant successivement chacune de ces valeursdaus la précédente, on obtiendra (4g)

/ x dox x , d*ax x 1

?x.ax=t>x. -J-.-—etc...

T i dx i. 2 1 dx 1 i.2.3

Pour que l’intégrale soit complète, il faut ajouter unec °nstante à ce développement.

Une fonction quelconque différentielle de l’ordretn > est représentée par

parce qu’on considère dx, comme une quantité con-stante ; C étant d’ailleurs la constante arbitraire. Inté-grant une seconde fois on trouverait

dx f[^r+ Cdx h dx

x m + 2

lrn-i-i V/h4-21

dx .Cx dx. G,

et, enfin, intégrant une troisième fois, on obtiendrait

x m +*dx

(/«-fïXm+ar

C xdx -\-Gdxx m + 3

(17*—J— I )(/71—J—2)(//i--j—3)

+ ’C.z’+C'.r+C’ ,

C', C" étant les constantes arbitraires introduites par lesdeux dernières intégrations. On a donc, en dernier lieu

/■

x m dx 3 -

(m4-i )(m

x m +^ . i . r «

j TT T-Jt +- Cx 1 + C ^ +C .

!-i-2)(/n4-3) 2

53. On ramène les intégrales des ordres supérieurs acelles du premier ordre, par le procédé si fécond del’intégration par parties, en opérant comme il suit, Soit

J*yx.dx = fx.

tpx. dx™

on aura