iss in

57 . L’intégrale (54) peut être mise sous la forme,

u =fvdx + fdy [Q - ff/x]en partant du théorème

dfMdx C^dx

dy ~ J dy

IN

mettre dans tout son jour Prmploi de la formule (54).Soit la fonction différentielle

{'>x' +y*)dx + xydy

nous poseronsP

a x’-j-y^ q_ x .y

Vx 2 -\-y 21 \y x ' 1 -j -y*

à l’aide duquel on peut différentier sous le signe J et, pour nous assurer d’abord si la fonction proposéepar rapport à une autre variable que celle à laquelle il se est une d ‘fi«rcn‘>elle totale, nous calculerons les déri.rapporte. vées-^, _Q.. nous trouverons

Ce théorème, dû à Leibnitz , peut se démontrer, parles propriétés des dérivées différentielles, de la manièresuivante ; posons

nous aurons

J'Udx = N

Mcér = c/N, etM ;

dx

dP _ 3 (x 2 ^-y 2 )y — (ax 2 +y 2 )ydy V'(ï r +p? _

-Q _

^ V (z^y 2 ) 3et, après les réductions,

â ^_dÇ\_ y3

en prenant les dérivées par rapport hy , nous obtien-drons

r/M d 2 lS

dy dx. dy

dy dx \/^V +>r ip

Opérant donc les calculs indiqués dans la formule(54),nous aurons

/Mr=

•S J Vx'-j-y 2

/ 2 x 2 dx , p y*dx\yx r -j-y 2 'J \/x 2 -\-y %

dx.dy dy .dx

Or, intégrant le premier terme du second membre parou a aussi, ce qui n’est qu’une autre forme des mêmes l a formule ( 37 ), on trouvedérivées

mais , puisque

d 2 N

dy

/ 3 x 2 dx --- P dx

Vx 2 +y*

dx

donc

Ainsi, retranchant les intégrales qui se détruisent, on aseulement

dy dx

Pdx=zx\ / x 2 -\-y 2

et, conséquemment,

~.dx == dx

dy dx

Intégrant par rapport à x , et remettant pour N sa va-leur, on obtient

•pdM _ d/MdxJ dy tiX dy ~

Prenant la dérivée différentielle de J'Pdx, par rapportky, qui est

dJPdx xy

dy

on voit que le terme

Vx'+y 2

f d A Q --f% dæ ]

se réduit à zéro, et par conséquent que l’intégrale de-mandée est

£8. Un second exemple nous paraît suffisant

pour

x\/x* 4- r*