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ou plutôt

x\/x 2 -\-y 1 -}- C,

car la réduction à zéro de la fonction J* dYdy , nous

apprend que la fonction Y ne renferme pas de variable,c’est-à-dire qu’elle est constante.

Une simple extension de la méthode précédentesuffit pour obtenir l’intégrale de toute différentielle to-tale, quel que soit le nombre des variables indépendan-tes de la fonction primitive. Nous ne pouvons nous ar-rêter aux détails.

5g. Toute fonction différentielle, égalée h zéro, four-nit ce qu’on appelle une équation différentielle. La formegénérale d’une telle équation est (55)

&- a dj' n -fb.'dy n —' l dx-\-k % dy n —*da* -J- etc.... k n dx n — O

lorsqu’elle ne renferme que des différentielles du pre-mier ordre.

Les équations différentielles du premier ordre sontditesdu premier degré, du second degré, etc., d’après laplus haute puissance des différentielles qu’elles contien-nent ; ainsi

k 0 dy -\-k t dx — o

est une équation du premier ordre et du premier de-K' é,

A 0 dy* -j- k,dydx -j- k,dx 1 = o,

une équation du premier ordre et du second degré ; etainsi de suite.

Il en est de même des équations différentielles desordres supérieurs, c’est-à-dire de celles qui contiennentdes différentielles d’un ordre au-dessus de premier ; oules classe, non-seulement par rapport au degré de l’or-dre , mais encore par rapport à celui des puissances desdifférentielles.

Co. Résoudre une équation différentielle , c’est trou-ver la relation primitive qui existe entre les vrriablesdont elle contient les différentielles,ou l’équation pri-tmtive dont elle est dérivée. Cette résolution qui dé-pend généralement de la résolution des équations ditesalgébriques, est soumise à toutes les difficultés que pré-6 eiitent ces dernières, et ne peut être effectuée quedans un petit nombre de cas particuliers dont nousallons nous occuper.

Lorsqu’une équation dn premier ordre et du premierd e gré est ramenée à la forme

une tonction de y qui ne contient pas x, sa résolutionou son intégration ne présente aucune difficulté, car

y'[xrf* + Y < fy] =fxdx + f Y dy,

et comme les deux termes du second membre de cetteégalité s’intégrent par les méthodes précédentes, on a

fxdx + J^Ydy=C }

C désignant une constante arbitraire.

Si l’on avait, par exemple :

3 x i dx -j- oiy^dy = o ,

on obtiendrait immédiatement

C =3 J'Zx^dx -)- J' •zy'dy

= l + If-

Ainsi le premier moyen qui se présente pour résou-dre l’équation du premier ordre

k a dx -{- A dy — o ,

dans laquelle A„ et A, sont des fonctions quelconquesde x et dey, est de la ramener à la forme.

Xdx -j- Y dy = o.

6i. Cette transformation d’une équation différentiellese nomme séparation des variables ; on l’exécute sansdifficulté dans les équations de la formeY dx -j- Xdy = o ,

puisqu’à l’aide de la division on obtientdx . dy

X + T = °’

dont l’intégrale est

/$+/f=c-

Par exemple, si l’équation proposée est

dx\fi—y 2 — dy\/i — x 2 = o,elle se transforme en

dx

dy

\/l— x* Vi —:/ a ’

et l’on a

Xdx -f Ydy = O ,

étant une fonction de x qui ne contient pas y, et Y

p dx _ P dy __

J \/i— X 1 'J \/l—J 1

ou (yoy. n. 21 )

arc (sin =x) — arc (sin = y) arc (sin — c) ;