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ou comme des ensembles susceptibles de plus et demoins, d‘augmentation et de diminution; tous ces phé-nomènes sont donc des quantités ; et, par conséquent,la science des quantités embrasse l’universalité desphénomènes ou les lois de la forme du monde phy-sique. Tel est en effet l’objet élevé des mathématiques.

Pour mieux préciser cette déduction, remarquonsque l’espace et le temps, ces conditions primordialesdu monde physique, sont eux-mêmes des quantités,parce qu’aucune de leurs parties ne peut être l’objetd’une intuition sans être renfermée dans des limites, despoints ou des instans; de telle manière que cette partien’est encore qu’un espace ou qu’un temps, et que l’espacene se compose que d’espaces, le temps que de temps. Orles phénomènes du monde physique , savoir les objetsextérieurs et les représentations intérieures que nousen avons, nous apparaissent nécessairement dans letemps et dans l’espace, car ce sont les intuitions puresdu temps et de l’espace qui servent de base à toutes lesintuitions que nous avons des objets, et particulière-ment le temps pour tous les objets physiques en géné-ral, et l’espace pour tous les objets physiques exté-rieurs; le temps et l’espace sont donc les formes dumonde physique, et c’est en les considérant ainsi,c’est-à-dire, non ce qu’ils sont en eux-mêmes, abstrac-tion faite des objets, mais comme appartenant aux ob-jets, ou aux phénomènes physiques donnés à posteriori,que le plus grand métaphysicien de notre époque a sibien défini les mathématiques : la science des lois

DU TEMPS ET DE l’eSPACE.

A l’aide de cette définition ou de cette détermina-tion de l’objet général des mathématiques, il nous de-vient facile de donner la classification des diversesbranches de cette science. Observons d’abord que leslois du temps et de l’espace peuvent être considéréesen elles-mêmes, et dans les phénomènes physiquesauxquels elles s’appliquent. La considération in con-creto de ces lois est l’objet des mathématiques pures;leur considération in abstracto, celui des mathéma-tiques APPLIQUÉES.

Occupons-nous d’abord des mathématiques pures,dont les autres dépendent nécessairement. D’après cequi précède, leur objet général est la quantité consi-dérée dans le temps et dans l’espace, or la loi formellede quantité appliquée au temps, donne la successiondes instans, ou le nombre, c’est-à-dire la conceptionde Punité synthétique de la diversité d’une intuitionhomogène; appliquée à l’espace, elle donne la concep-tion de la conjonction des points ou de I’Étendue. Lesnombres et Xétendue forment donc deux détermina-tions particulières de l’objet général des mathémati-ques pures, et donnent ainsi naissance à deux bran-ches distinctes Je ces sciences. La première est I’algo-

rithmie , ou la science des nombres ; ia seconde, la géo-métrie ou la science de Vétendue.

Nous avons donné, au mot Géométrie , la classifica-tion des diverses sciences dont se compose cette branche fondamentale des mathématiques pures; il nousreste à donner ici celle des diverses branches de X Al-gorithme , que nous n’avons fait qu’indiquer dans lesNotions préliminaires , et au mot Algèbre .

L ’AIgorithmie se divise en deux branches principalesdont l’une a pour objet les nombres considérés en général, ou les lois des nombres, c’est 1 ’algèbre, et don»l’autre a pour objet les nombres considérés en particu-liers ou les faits des nombres, c’est I’abithmétique.(Voy. Alg. et Arith.)

Les faits des nombres étant subordonnés à leurs lois ,l’arithmétique n’a d’autres subdivisions que celles qu’elleemprunte de l’algèbre ; nous ne nous occuperons doncque de cette dernière.

1. Les nombres pouvant être envisagés sous le rapportde leur construction ou de leur génération, et sous celuide leur relation ou de leur comparaison , nous auronsdeux espèces de lois distinctes, savoir : les lois de la gé-nération des nombres, et les lois de la comparaison desnombres.

2 . La génération des nombres se présente à son toursous deux aspects différens ; d’après le premier, la géné-ration d’un nombre est donnée par une constructionindividuelle et indépendante qui fait connaître sa na-ture ; d’après le second, la génération de tous les nom-bres est donnée par une construction universelle, quifait connaître leur mesure ou leur évaluation; par exem-ple, l’expression x = \éa nous donne la nature dunombre x, tandis que l’expression équivalente (m)

x — i -f-^(a— 0— g i a — O’+tq ( a ~ O 3 ~ elc -"*

porte sur la mesure du nombre x , et nous donne sonévaluation. Or, la forme \/a se rapporte uniquementaux nombres qui sont les racines d’autres nombres, c’estdonc un mode individuel de génération, tandis que laforme A -J- Ba -{- Ca 1 -j- etc., à laquelle se réduit l’ex-pression (m) peut se rapporter à un nombre quelcon-que, c’est donc un mode universel de génération.

Ce que nous venons de dire des deux aspects sous les-quels se présente la génération des nombres peut éga-lement s’appliquer à leur comparaison , ainsi la réunionde tous les modes individuels et independans delà gé-nération et de la comparaison des nombres forme unebranche particulière de l’algèbre, et la réunion de tousles modes universels de cette génération et de cette com-paraison forme une autre branche. M. Wronski, à q 111l’on doit cette importante distinction , nomme la l )!C