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auxquels on donne les noms de rapport arithmétique ,et de rapport géométrique.

Deux rapports égaux, arithmétiques ou géométriques,constituent une proportion ( voy. ce mot), et une suitede rapports égaux, dont les termes moyens sont les

mêmes, forme une progression (voy. ce mot). La théoriede la comparaison élémentaire des quantités a donc pourobjet les rapports, les proportions et les progressions.

Nous résumerons toute la partie élémentaire de lathéorie de l’algèbre dans le tableau suivant :

I GÉNÉRATION.

THÉORIE DE L’ALGÈBRE. I

Partie élémentaire. J

Comparaison.

I Algorithmes théoriques primitifs.

Algorithmes théoriques dérivés.

Relation d'inégalité. =: ÉGALITÉ.Relation d'égalité. “ RAPPORTS.

f Addition .

Sommation.

( Soustraction.

j Multiplication.

Reproduction.

( Division .j Puissances.

( Racines.

Graduation.

( Numération.

Immédiats.

( Facultés .

| Logarithmes.

Médiats.

( Sinus.

{ Rapport arithmétique.Rapport géométrique.

8. La réunion des algorithmes élémentaires, qui formela partie systématique de la théorie de l’Algèbre , n’estpas une simple combinaison de ces algorithmes commedans la formation des algorithmes dérivés; c’est unevéritable réunion systématique , d’après laquelle lesquantités numériques reçoivent de nouvelles détermi-naisons et de nouvelles lois dans leur génération et dansleur comparaison. Sans remonter ici aux principes phi-losophiques de cette réunion, qui ne sont point notreobjet (Voy.Vmi.. des Math.), nous allons exposer com-ment elle se manifeste dans la science.

Si nous envisageons deux algorithmes élémentairescomme concourant à la génération d’une quantité, nouspourrons considérer cette génération de deux maniè-res : i“ comme étant donnée indistinctement par l’unet par l’autre de ces algorithmes, a* comme étant opé-rée par l’influence distincte de l’un de ces algorithmessur l’autre. Par exemple, soit

J»=aA4-B, j» = C d

la double génération d’un nombre m , au moyen desdeux algorithmes primitifs élémentaires de la somma-tion et de la graduation ; la réunion de ces deux géné-rations , A-j-B = C D , si elle était généralement possible,nous permettrait de considérer indistinctement chacunde ces algorithmes primitifs comme pouvant donner lagénération d’un nombre m, et toutes les fois que nousaurions m ■= A-f-B , nous pourrions conclure qu’ilexiste une autre génération équivalente du même nom-bre m = Cd , ou réciproquement. Or, une telle iden-tité systématique de génération n’est pas possible pourles algorithmes primitifs élémentaires, qui sont in-lé-

pendans les uns des autres, et les circonstances particu-lières où l’on peut avoir; soit A-j-B = C D , soit A-j-B=EXF; soitEXF = C D , ne peuvent jamais permettrede considérer généralement la génération d’un nombrecomme donnée indistinctement par l’un et par l’autredes algorithmes qui entrent dans chacune de ces réu-nions.

Mais si les algorithmes primitifs élémentaires nepeuvent, dans leur réunion, donner lieu à une identitésystématique, il n’en est pas de même des deux algo-rithmes élémentaires dérivés; la numération et les fa-cultés. En donnant au premier de ces algorithmes laforme

A 0 + A,x -j- A.x 1 -)- A,x 3 -j- etc... + Ao*Xto

et au second la forme

(x + a.) (x + a,) (jr-j-a,).(x-j-au).

il est prouvé, que si l’on a, pour la génération d’unequantité quelconque qx,

fx = A„+ A,x + A^ + etc... -j- A«æt»

on aura aussi (voy. Equation i 5, i6et iy),

<fx=(x+a.) (*+*,) (Jr+a,).. .(x+a a )

et réciproquement. De sorte que l’on a généralement,pour l’identité en question, l’expression ( n )

A 0 -j- A,x -|- A^* -J- etc.-j- Aaxa, =

(x + a,)(x -j- a,). ...(x -J- a J)

Les quantités A 0 , A,, A,, se trouvent déterminéespar les quantités a., a», ai etc., ou réciproquement;