MA.

MA

24i

Or, Jes lois de la détermination de ces quantités les unesau moyen des autres, foi ment une partie distincte etessentielle de l'Algèbre; on lui a donné le nom deThéorie des Équivalences.

Dans son introduction à Vanalyse des infiniment pe-tits, Euler a démoutré les deux belles équivalences,trouvées par Jean Bernouilli,

=-(-;>G+i> (-£)'(■+£)•-

e t il en a tiré plusieurs conséquences très-remarquablespour la sommation des séries infinies.

9. En examinant maintenant la seconde manière sui-vant laquelle le concours de deux algorithmes élémen-taires peut opérer la génération des quantités , on voitfacilement que ces deux algorithmes devant être consi-dérés comme distincts l’un de l’autre ; il en résulte ,Pour leur réunion , une diversité systématique , qui semanifeste de trois manières; i° par l’influence de la som-mation dans la génération des quantités où domine lagraduation ; par l’influence de la graduation dans lagénération des quantités où domine la sommation; et 3°par l’iufluence réciproque de la sommation et de la gra-duation dans la génération des quantités où dominentl’un et l’autre de ces algorithmes.

10. L’influence de la sommation , dans la générationdes quantités où domine la graduation, a lieu lorsqu’onconsidère les fonctions d’une ou de plusieurs quantitésvariables comme exprimant la génération par gradua-tion des quantités numériques, tandis qu’on envisagela variation de ces quantités par rapport à la sommation,l'ar exemple qx, étant la génération par graduationd une quantité quelconque , si x varie par addition ouSoils traction , c’est-à-dire, devient x -J- A ou x — A, lay a * lation correspondante de qx sera due nécessairement4 1 ù)flue nce de l’algorithme de la sommation. C’estCe tte variation qu’on nomme en général différence ,et les lois qui l a régissent forment l’objet de la ThéorieDes Diff érences.

l^es élérnensde la sommation pouvant être considérés° mme *'®cls ou idéals, c’est à-dire comme finis, ou in-

'm.ent petits , la théorie des différences a deux bran-

fr *

4 UI sont : le calcul des différences , et le calculIjif ï'ïrenx IEI<i Si l’ 0 n envisage, en outre, les élémens do

la sommation comme indéterminés , on a le calcul desvariations. ( Voy. Diff. et Variation. )

11. Le second cas de la triple diversité systématique ,que nous examinons donne naissance à un calcul nou-veau dont l’importance pour l’algorithmie n’est pas en-core développée, quoiqu’il en constitue une partie né-cessaire. Cependant ce calcul a cela de remarquable,que sa découverte n’est point le résultat d’un problèmeà résoudre , ou d’un besoin manifesté par la science ,mais qu’elle a été obtenue à priori parle géomètre dontnous suivons les principes dans cette classification , etqu’elle résulte des hautes déductions philosophiques qu’ila données de toutes les branches de l’algorithmie. Laseule application qui ait encore été faite de ce calcul estla détermination de la forme et de la nature des racinesdes équations. Sans nous prononcer sur l’utilité dont ilpourra devenir un jour , nous croyons que l’expositionque nous en allons faire ne sera pas sans intérêt pour noslecteurs.

Si l’on considère les fonctions d’une ou de plusieursvariables , comme exprimant la génération par somma-tion des quantités numériques , on peut évidemment etsous un point de vue opposé aux différences , envisagerla variation de cesquantités par rapport à la graduation.Par exemple, soit une fonction qx de la variables, ousoit

y =3 <px;

Si nous concevons que x varie , par un accroisse-ment que reçoit son exposant, l’exposant dey recevraun accroissement correspondant , de manière qu’en dé-signant par qx l’accroissement de l’exposant de x etpar qy celui de l’exposant dey , nous aurons

y'+yx =

Ainsi divisant ces valeurs dérivées par la valeur pri-mitive^ = qx , il viendra (0)

■y _ Ÿ v^+y*)

7

et ce sera V accroissement par graduation delà fonctionqx, correspondant à un accroissement pareil de la va-riable x.

Or, cet accroissement par graduation est nécessaire-ment soumis à des lois particulières dont l’ensembleforme l’objet d’un calcul particulier. C’est ce calcul queson auteur, M. AVronski, a nommé calcul des grades ,en désignant par le nom degWe* les quantités qx, qy.

Les grades pouvant être considérés comme finis , oucomme infiniment petits , le calcul des grades a donccomme le calcul des différences , deux branches parti-culières ; la première sera le calcul des grades finis $ ousimplement le calcul des grades , et la seconde le calcul