MA

graduation, ainsi que celui delà reproduction, apportentdans leur nature la considération de l’existence des fac-teurs. Ces deux caractères distinctifs, réunis dans unmême nombre, constituent l’influence systématique ré-ciproque qui fait l’objet de la théorie en question, et cetteréunion ne peut se présenter que comme une diversitésystématique , puisque par leur nature essentiellementdifférente les algorithmes primitifs ne peuvent jamaisdonner indistinctement la génération d’un nombre. Or,en considérant, d’une part, un nombre donné commeformé par l’addition de plusieurs quantités et,de l’autre,comme formé par le produit de plusieurs facteurs, cesquantités et ces facteurs sont nécessairement liés par deslois particulières qui régissent la possibilité de cette dou-ble génération. Ce sont précisément l’ensemble de ceslois dont se compose la théorie générale des nombres.{yoy. Nombres. )

14 . La comparaison systématique des quantités nu-mériques a nécessairement pour objet, comme la com-paraison élémentaire, Yégalité ou Yinégalité qui peutexister entre ces quantités, mais en ayant égard aux nou-velles déterminations de leur nature apportées par leurgénération systématique. Par exemple la générationd’une fonction quelconque <px d’une variable x , étant( r ),

<fx = A 0 + AiX -f- A.x 1 + A 3 x 3 + etc.

si l’on y joint la considération de l’équivalence entrecette génération par sommation, et celle par graduationqui doit aussi avoir lieu (s)

MA 213

<px — {x -p -j- a,)(x + + «*)•••• etc.

et si l’on remarque que lorsque un quelconque des fac-teurs de cette dernière devient zéro, ce qui la rend elle-même zéro, la première doit aussi devenir zéro en ydonnant à la variable x la valeur qui rend le facteur zé-ro , on verra que cette circonstance est généralementexprimée en donnant à l'égalité (r) la forme [t)

o = Ao+AiX-j- A,# 1 -{-A 3 a: 3 -f- etc.

relation qui implique nécessairement la même relationavec zéro des facteurs de la fonction de graduation ( s),considérés séparément, c’est-à-dire, quela variable a:dusecond membre de l’égalité (r) reçoit des valeurs déter-minées, dont le nombre est égal à celui des facteurs (s),qui réduisent à zéro ce second membre. L’égalité (/) n’estdonc plus une simple identité, on la nomme alors équa-tion , et la théorie des équations forme la partie princi-pale de la comparaison théorique systématique de l’al-gèbr e.'(F~oy. Equation .)

L’inégalité des quantités reçoit également, en la consi-dérant sous la circonstance de la réunion systématiquedes algorithmes opposés, un caractère particulier qui larend inéquation; mais comme les inéquations n’ont unesignification déterminée] qu’au moyen des relations d’é-quations, on peut considérer toute la théorie de la com-paraison systématique comme se réduisant à la Théoriedes équations.

Nous terminerons ici tout ce qui a rapport aux diversesbranches de la partie systématique de la théorie del’algèbre, en les réunissant dans le tableau suivant.

théorie

de

L’ALGÈBRE,

Partie systématique.

Réelles : Calcul des dif-férences.

Génération.

Comparaison. .

Diversité dans la réu-nion des algorith-mes élémentaires. .

Influence partielle

De la sommation dans 1la graduation ; \

DIFFERENCES. J

t Indéti

t Déterminées...

Idéales ; Calcul diffé-rentiel.

Indéterminées : Calcul des variations.De la graduation dans la sommation t Grades. (Voy n. 11.)Influence réciproque des algorithmes primitifs opposés : Théorie des nombres.

Identité dans la réunion des algorithmes élémentaires ; équivalences.

Relation d’égalité ; Équations (de différences, de congruences, d’équivalences ).Relation d’inégalité ; INEQUATIONS.

t5. Procédons maintenant à la déduction des diver-ses parties de la Technie de l’algèbre , et, d’abord ,Précisons l’objet général de cette branche essentielle de1 algorithmie.

Dans la théorie, la génération ou la construction desquantités est donnée immédiatement par des algorith-mes simples ou composés qui ne peuvent faire connaîtreque la nature de ces quantités, mais non leur détermina-hon numérique ou leur valeur comparative à une unité.Cette valeur ne peut jamais être donnée qu’accidentcl-lement par la théorie de l’algèbre, et seulement dans le*** où les opérations dont la réunion constitue la nature

d’une quantité, et donne sa génération, peuvent s’effec-tuer par l’application des procédés primitifs ou des sixrègles élémentaires de la science (l’addition, la multipli-cation, l’élévation aux puissances, et leurs procédés in-verses). Par exemple, soit une quantité m , dont la gé-nération est donnée par l’expression

2

m = \/5

Cette génération ne nous fait évidemment connaîtreimmédiatement que la nature , ou la construction pri-mitive delà quantité m, et ce n’est qu’en lui appliquant