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des gradules, en nomment gradules les grades infini-ment petits.

Pour avoir l’expression générale du grade et du gra-dule d’une fonction quelconque au moyen d’autres al-gorithmes connus , faisons dans (o)

X*+7* — X + k

g<px =

dhtpX\ u<fX 1

la lettre latine g désignant les gradules.

En partant de cette dernière expression on trouvepour les gradules des fonctions élémentaires les expres-sions générales suivantes :

et prenons | pour l’accroissement des différences quivont nous servir à exprimer les grades ; nous obtien-drons

g[x m ) = gx

yy _ _ , J_ f{X+j)—tp X

J (fx " r

_ :1 I A y(* + S)

* yx

ou (p)

r vr _, — tsQjx +I) .

J fX

Or, d’après la théorie des différences, F x étant unefonction quelconque de x , et la caractéristique L dési-gnant les logarithmes naturels, dont e exprime la base,on a

Fx

A LFx=LFx—LF(x—|) = L p^z^jd’où l’on tire

e ALE*

Fx _ Fx—F(x—?)

F(x—|) — 1 ** F(x—|)

, AFx

“ 1 + f&=ï)

et, par suite

AFx=F(x—*).(e iLF ' r — i),

En vertu de cette expression, on a doncAp(x-)-f) = <px.(e A M x— —i)

Substituant cette valeur dans (p ), nous trouverons (q )

yiX _ e AL f (*+n

et, prenant les logarithmes des deux membres de cettedernière égalité,

yy.Ly = AL <p(x + f),

d’où définitivement, remplaçant y par fx

y çix =

ALy(x-f-£)

Lfx

Telle est l’expression générale du grade d’une fonc-tion x. Lorsqu’il s’agit du gradule, la quantité { est in-finiment petite et la différence devient une différen-.ielle , on a simplement alors

g{a x ) = Lx.gx

xLx. cot.x

gsinx = -

geosx :

T- • —-S xLsinx

xLx.tangx

Lcosx

ë x

Ce ne sont là que les gradules du premier ordre , caril faut remarquer que les grades et les gradulcs admet-tent comme les différences et les différentielles, tous lesordres possibles, positifs ou négatifs; mais nous ne pou-vons entrer dans de plus grands détails ; ce qui précèdeest suffisant pour donner une idée exacte de la naturede ce nouveau calcul, et nous devons renvoyer ceux denos lecteurs qui voudraient l’approfondir à F introduc-tion à la philosophie des mathe'nialiqaes , où il est ex-posé dans tout son ensemble.

i3. Il nous reste à examiner l’influence réciproque dela sommation et de la graduation dans la génération desquantités où dominent l’un et l’autre de ces algorithmes.Cette influence qui ne peut se manifester que dans lesnombres déjà produits par leur génération et non danscette génération elle-même, est l’objet de la théorie des

NOMBRES.

La théorie des nombres ne peut avoir, comme celle desdifférences, deuxbranches correspondant aux parties finieset infiniment petites qu’on peut considérer dans cettedernière, puisque l’influence systématique qui fait son ob-jet ne s’exerce que sur les nombres donnés par leur géné-ration j mais elle admet aussi la considération de la déter-mination et de Y indétermination de ces nombres, c’est-à-dire, qu’on peut envisager les nombres, comme don-nés par eux-mêmes ou immédiatement, et comme donnéspar d’autres nombres ou médiatement. Dans le premiercas la théorie prend le nom de Théorie des nombresdéterminés, et dans le second celui de Théorie des nom-bres indéterminés. C’est cette dernière qu’on nommevulgairement Analyse indéterminée. ( Voy. Indéter*

MINÉ.)

Remarquons, pour mieux fixer l’idée qu’on doit at-tacher à l’objet de la Théorie des nombres , que l’algo-rithme de la sommation nous fait concevoir les nombrescomme des agrégations cl’unités t tandis que celui de 1 a