NE

Ap exprimant )a somme de toutes les quantités qui mul-tiplient 9 dans le développement de la puissance p dubinôme 1 qj ainsi nous pouvons encore donnei a laforme (•2), l a f 0lme (3)

"(i+gA^-J-^i-l-gAm-,) + etc.... +K’+9)+Ÿ-

Effectuant les multiplications, nous avons deux suitesde termes dont la première est

a -j- b -j- c -f- d- j- etc.... -f- p-\~(j}et la seconde

9«A m -J-giAm—i-f-ctc.... 4-g p

Représentant donc par M la somme des chiffres sim-ples a , b , c, d , etc., et par N la somme de toutes lesquantités qui multiplient 9. dans la seconde suite , nousobtiendrons définitivement pour la forme généraled “a nombre quelconque, l’expression (4)

<!l ', cette expression est évidemment divisible par 9,Sl M est lui-même divisible par gj ainsi la propriétéque nous examinous est une conséquence nécessaire deoe que 9 est le dernier chiffre de notre échelle numé-11 que, et cette propriété appartiendrait également audernier chiffre simple de tout autre système de numé-l’ation.

2. Il résulte encore de la forme générale ( 4 ), quepour trouver le reste de la division par 9 d’un nom-bre qui n’est point exactement divisible par 9, il suffitde chercher le reste de la division par 9 de la sommedes chiffres qui composent ce nombre. Ceci est assezévident pour se passer de développement.

3 . Voici une seconde propriété sur laquelle on afait un grand nombre de commentaires. Si l’on ren-verse l’ordre des chiffres qui expriment un nombrequelconque, la différence du nombre direct et du nom-bre renversé , est toujours un multiple de 9. Par exem-ple 53 — 35 = 18 ou 2 fois 9 ; 534 ~ 4^5 = 99, ou11 fois 9 f etc. En effet puisque, M désignant la sommede 3 chiffres d’un nombre quelconque, la forme de ce

^ Nombre est

9 + M,

P 0ur tout autre nombre composé des mêmes chiffres°n aura

9P4-M,

^ la différence des deux nombres sera

9N4-M — 9 P — M = 9 (N — Dc est-à dire un multiple de neuf.

ne mi

Ainsi la propriété en question est beaucoup plus gé-nérale et peut s’énoncer ainsi, la différence de deuxnombres exprimés par les mêmes chiffres est toujoursun multiple de 9. Par exemple eu partant du nombre1724, et en formant tous ceux qui peuvent résulter despermutations des chiffres qui le composent, on trouve

1724 — 127.4 = 45o ou 5o fois 9;

1724 — 1247 = 477 ou 53 fois 9, etc., etc.

La preuve delà multiplication, dite preuve par 9,que nous avons exposée au mot Arithmétique , estfondée sur les propriétés 1 et 2. Il suffit de la foi niegénérale (4) pour en comprendre les raisons sans au-cune difficulté.

NEWTON (Isaac). Parmi les noms glorieux de cepetit nombre d’hommes privilégies dont le génie a ou-vert des voies nouvelles à la science et rapproché l’esprithumain de sa destination , en surprenant 1 es lois éter-nelles qui président à l’organisation de l’univers, en ex-pliquant les phénomènes merveilleux qui s’en déduisent,en portant enfin la lumière dans les plus profonds mys-tères de la création, celui d’Isaac Newton doit brillerd’un éclat immortel. Ces grandes et fortes organisationssont rares dans lemonde. L’cnthousiasmeetl’admiraliouqu’excitent leurs travaux ne signalent que de loin enloin leur apparition dans les siècles. Ces travaux sublimesrelient entre elles les races humaines divisées par lesclimats, les légi lations et les mœurs. L’intelligence quiles accepte vient déposer de la majestueuse unité dol’homme. L’orgueil des nationalités peut à son giésomanifester dans l’histoire sociale et faire honneur à unseul peuple de la gloire qu’un homme s’est acquise parde belles actions. Cette gloire est restreinte, en clfet ,comme les circonstances dont elle sortit, comme le luitqu’elle atteignit. Mais l’histoire de la science, considé-rant l’esprit humain dans l’ensemble de ses œuvres, m;saurait admettre un préjugé démenti par 1e caractèred’universalité qui distingue le génie. Les faits du savoir,commeles intelligences dont ils émanent, appartiennentà l’humanité.

Ce fut le 25 décembre 1642, à la fin de l’année durantlaquellela postérité avait commencé pouiTillustreGalilée,que Newton naquit, à Woolstrop, dans le Lincolnshire ,en Angleterre. Son génie l’a placé dans un rang biensupérieur à celui que peuvent procurer des titres héré-ditaires ; mais il était d’unenoble famille etqui possédaitdepuis deux siècles la seigneurie de cebouig. Il avaitperdu son père de bonne heure et ce fut sa moi e qui eut àveillera son éducation. On l’envoyaàdouzeans à l'écolede Grantliam, où il fit ses premièresétudes. Quand il eutappris tout ce qui pouvait constituer alors l’éducationd’un gentilhomme campagnard , sa mère le rappela au-près d’elle et voulut appliquer aux affaires domestiques