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ellese réduit à colle de la parabole' y* --- ipx

lorsque a devient infiniment grand ; et dans ce cas , lecentre, le second sommet et la seconde hyperbole dispa-raissent, ou sont situes à l’infini.

il. Quoique le problème des tangentes doive êtretraité ailleurs dans toute sa généralité, nous allons faireconnaître ici un procédé 1res simple semblable à ceuxque nous avons donnes pour l’ellipse et la parabole. SoitQ le point où l’on veut mener une tangente. (PI. 49 >fig. 5.) Après avoir abaissé la perpendiculaire QP surla directrice et mené le rayon vecteur FQ , on joindrales points F et P par une droite FP qu’on partagera endeux parties égales au point g ; par les points g et Qon mènera une droite g Q ; ce sera la tangente demandée.En effet, celte droite ne peut avoir que le seul point Qcommun avec la courbe , car si de tout autre point Oon mène OP, et la perpendiculaire OS à la directrice ,on a

PO > OS ,

mais FO = PO, donc aussi

FO > OS,

et, par conséquent, le point O est hors de la courbe.

ia. Il résulte de cette construction, que si l’on pro-longe PQ,les angles FQgetRQO sont égaux. Propriétéquitrouveson application dans la catoptrique, et quinous apprend que tous les rayons lumineux qui parlentdu foyer d'un miroir parabolique sont réfléchis parallèlement à Taxe . C’est ce qui rend l’emploi de ces mi-roirs si utile pour projeter la lumière à de grandes di-stances.

i3. On nomme diamètre, dans la parabole, toutedroite parallèle à l’axe; ce nom lui vient de ce qu’elledivise en deux parties égales toutes les cordes parallèlesà la tangente du point où elle rencontre la courbe. Enprenant pour axes des coordonnées une telle droite etla tangente correspondante, on a des coordonnées obli-ques, mais l’équation ne change pas de forme. {Foy.Transformation des coordonne’es. Voy. aussi Polairepour l’équation polaire de la parabole.)

Parabole des ordres supérieurs. On donne encore lenom de paraboles à diverses courbes qui diffèrent es-sentiellement de la parabole ordinaire , conique , ouapollonienne que nous venons d’examiner. Voici lesplus remarquables.

Parabole biquadralique. C’est une courbe du troi-sième ordre, ayant deux branches infinies et qui est gé-néralement exprimée par une de ces trois équations :

1.. .. a 3 x = yi

a • • • • a 3 x=z y* — b*y*

3.. . , a 3 x =>y* — (4+c>* + bey *

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l’équation i représente la courbe delà fig. 4 , pl. 48 ;1 équation a, celle de la fig. 5 ; et l’équation 6, celle dela fig. 6. D ois toutes ces figures 011 a AP = X , QP — yAB = b , AC = c ; a est une certaine quantité donnée.

Parabole cartésienne. Couibcdu second ordre ex-primée par l’équation

xy = ax 3 -|- by‘‘ + ex -|- d :

elle a quatre branches Infinies, s ivoir : deux hyperboli-ques et deux paraboliques, (f^oy. PI. 48. fig. 7 )

Parabole cubique. C’est aussi une combe du secondordre avant deux branches infinies dirigées en sens iu-verse. (PI. 48, fig. 8.) Son équation générale est

y — ax 3 -(- bx * -|- ex -(- d ,

mais quand b , c et d sont chacun zéro, cette équationse réduit à

y — ax 3

c’est celle de la figure citée. Ou la nomme premièreparabole cubique.

Si l’équatiou est

y* = ax 3 ,

la courbe se nomme seconde parabole cubique. En gé-néral,^" 1 —ax 3 est l’équation de la m ième parabole cu~bique.

Paraboles divergentes. Nom donné par Newton àune espèce de cinq clîFF rentes bgin s du troisième or-dre ou courbesdu second ordre cxpriniccspar l’équation

y 1 = ax 3 -f- bx 1 -)- ex -f- d ;

la première est une couibe en forme de cloche avantune ovale à sa tète. (PI. 47> fig- 9-) Elle correspond aucas où l’équation

ax 3 -j- bx* -f- ex -)- d = o

a trois racines réelles et inégales.

La seconde (fig. 10) , a un point conjugué; ellecorrespond au cas où les deux plus petites racines decette même équation sont < gales.

La troisième (fig. 11) est celle qui se rapporte al’égalité des deux plus grandes racines.

La quatrième (fig. ta) a lieu lorsqu’il n’y a qu’uneseule racine réelle.

Enfin, la cinquième répond au cas des trois racineségales. L’équation peut se réduire alors à y'—ax 3 . C’estla seconde, parabole cubique.

j4rcs paraboliques. Ce sont les arcs ou les poitionide la courbe. (Poy. Rectification.)

PARABOLOÏDE ou CONOIDE PARABOLIQUE.( Géom .) Solide formé par la révolution d’uue parabole