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gués à celles des foyers de l’ellipse et de l’hyperbole.Lu principale est que si de ce foyer on mène une droiteà un point quelconque de la courbe, cette droite, qu’onnomme rayon vecteur , aura une différence constanteavec l’abscisse correspondante. En effet, soit F (PI. t\g >%• ! ), le foyer de la parabole MAN , menons lerayon vecteur F y et l’ordonnée xy, le triangle rectan-gle F xy nous donnera

-9 -3 -«

Fy~ Fx + xy

mais en désignant Fy par z , nous avons aussi

Faj = Ax — AF = x — , et xy— y 7 =pæ ,

d’où

z' = (x — + P X

= ^—l px _j_ L p >+px

= x 7 fi-fx +

=(* + ?)’

et, par conséquent,

z = x-\-^p, et z — x^'yp

Ainsi la différence entre le rayon vecteur et l’abscisseest toujours égale au quart du paramètre.

5. Il résulte de cette propriété que si l’on prolonge

l’axe d’une quantité A/ = AF = ^pet que l’on mène la

droite PQ perpendiculaire à l’axe, tous les points de laparabole seront également éloignés de cette droite etdu foyer , car en abaissant d’un point de la courbe uneperpendiculaire yï sur PQ, cette perpendiculaire égalexf\ mais

xf = Ajc -f- kf

= Ax -f-AF

= x 4-^p ==z i

doue x/"= Z y = z. Lorsqu’on considère la paraboled uue manière indépendante du cône, on part decette construction pour trouver son équation. On ladéfinit alors , une courbe dont tous les points sont àt; gales distances d’une droite donnée de position et d’unpoint fixe également donné. LadroilePQ prend le nomde directrice.

6. La directrice et le foyer d’une parabole étant don-nés on peut aisément construire cette courbe par pointsde la manière suivante ;

Soit Pc/ la directrice et F le foyer (PI. 49> hg- 1 •) parle point F on mènera sur PQ une perpendiculaire in-définie Bon partagera F/cndeux parties égales et lepoint du milieu A sera le sommet de la parabole. Pourobtenir d'autres points, on élèvera en un point quelcon-que x de Bf la perpendiculaire y'y, puis de F commecentre avec un rayon égal à fx on décrira un arc decercle qui coupe la perpendiculaire en deux points y'et y. On aura ainsi deux points de la courbe j et en ré-pétant cette opération on pourra eu obtenir autantqu’on pourra le désirer.

y. On peut également décrire la parabole par unmouvement continu d’une manière très-simple. Ayantfixé une règle BD (PI. 19, fig. 6.) sur la directrice, onattachera au foyer F le bout d’un fil égal en longueurau côté EC d’un équerre, à l’extrémité C de laquelleon attachera l’autre bout du fil. On tendra le fil contrel’équerre avec une pointe ou un crayon, et en faisantglisser l’équerre le long de la règle la pointe décrira unebranche de la parabole. Pour tracer l’autre branche, onrenversera la position de l’équerre. C’est cette con-struction qui a fait donner le nom de direcl ice à ladroite DB ; elle est assez évidente pour se passer de développemens ultérieurs.

8. En comparant la génération de la parabole dans lecône avec celle de l’ellipse, on reconnaît sans peine quecette dernière courbe se rapproche de la première àmesure que son grand axe augmente et qu’elle finit parse confondre avec elle lorsque ce grand axe devient in-finiment grand. Cette circonstance est exprimée dansl’équation de l’ellipse rapportée au sommet et au para-mètre

y 7 = ^ ( nax — x 7 ),

(voy. Ellipse , 8), car lui donnant la forme

elle se réduit à

y 2 = ipx ,

orsque a est infiniment grand, puisqu’alors —— devient

infiniment petit. Ici ip exprime la même quantitéque nous avons désignée par p dans l’équation dela parabole , c’est-à-dire , la double ordonnée quipasse par le foyer, ou le paramètre.

9. Il en est de même de l'hyperbole : son équationrapportée au sommet et au paramètre étant

y 7 = £ (aax-\-x 7 )

(voy. Hyperbole, 9), ou

y 2 = ipx ,

TOME II,

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