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exemple, f(x, y) étant une fonction des deux variablesx cty, la différence

? {x+Ax,y) — <f(x,y),

prise en considérant y comme une quantité constanteest la différence partielle de f(x, y) par rapport à x.Demême

f(x, y+Aÿ) — f{x, y)

est la différence partielle de y) par rapport a y.

Ces différences partielles s’expriment généralementpar la notation

Lorsqu’il s’agit des différentielles on a également

0 (c% z ><

pour les différentielles partielles de la fonction y(x, y)prises respectivement par rapport à x et par rapportà y.

i. On nomme équation aux différences partielles,toute équation dans laquelle se trouvent les quantités

K*, y),x,y,

y)

àx

y)

A y

combinées d’une manière quelconque avec des quantitésconstantes; ou, plus généralement, u étant une fonctiondes variables x,y, z, etc., toute équation qui renferme

u, x, y, z, etc.

Au Au Audx' dy 1 d z

etc.

Si les différences sont infiniment petites, les équationssont dites aux différentielles partielles. Le cas des dif-férences infiniment petites , est encore le seul pour le-quel on ait trouvé des résultats généraux que nos limi-tes nous permettront seulement d’indiquer.

a. u étant toujours une fonction de plusieurs varia-bles , et sa dérivée différentielle prise en ne fai-sant varier que x , si nous désignons par P une fonctionquelconque de ces mêmes variables, mais qui ne ren-ferme pas u , l’équation

du

dx

— P=o,

sera une équation différentielle partielle du premierordre. C’est la plus simple de toutes.

L intégration de cette équation ne présente aucunedifficulté, car eu la multipliant par dx on peut lui don-ner la forme

dx — P dx ,

d’où en intégrant par rapport à x seulementu= f Vdx -|- C.

Ici, C n’indique pas une simple constante arbitrairemais une fonction entièrement arbitraire de toutes lesvariables, autres que x , que renferme la fonction u.Si par exemple, cette fonction u ne renferme que deuxvariable a: et y , l’intégrale de l’équation

du

dx

— P =

o

sera

u = fVdx -\-fy

fy étant une fonction arbitraire de y et de quantitésconstantes.

3. Lorsque P contient u, l’équation proposée rentredans le cas des équations différentielles à deux varia-bles ; mais occupons-nous tout de suite du cas le plusgénéral des équations différentielles partielles du pre-mier ordre et du premier degré. Soient P, Q, R desfonctions qui renferment les variables u , x et y la for-me (i)

répond évidemment a ce cas général. Faisons pouiabréger

du du

dx ~~ P * dy = <1

l’équation (i) deviendra (a)

Pp+Q 7 = R,

et l’on en tirera

P =

R—Q 1

p

Or la différentielle totale de u est ( voy. Dirr, 5l)

dx -j-

du

dy

dy

= pdx + qdy

Substituant la valeur de p dans cette différentielle to-tale , il vient (i)

P du — R</x = q ifdy — Q dx)

Maintenant il se présente deux cas : i" le premier mena-’bre Vdu— R</xne renferme que les variables u et x, tan-dis que la fonction P dy — Qdx ne renferme que les