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blés quelconques, et par la caractéristique f les fonctionsinconnues respectives qui peuvent répondre à ces ques-tions. ( Introd. pag. io.)

60. Pour la première de ces deux questions, il est évi-dent d’abord que la fonction y , dont il s’agit, est l'ex-posant d’une quantité donnée qui forme, avec cet expo-sant, la valeur de la quantité variable; car a étant unequantité constante, si l’on a

af x = x

on aura aussi

x,.x,.x 3 .etc.=aT x *.aï x m.a? x i.ttc.=af :X,+ ï x ‘+? x *+ elc '

et conséquemment

F. + -f- tfx 3 + etc. = <f[x t .x,.x t . etc.)

Il ne reste donc qu’à découvrir la nature de cette fonc-tion 9 , et à savoir si elle est une fonction dérivée élé-mentaire, ou seulement une combinaison des autresfonctions élémentaires. Or, la nature transcendante decette fonction , qui constitue les logarithmes, nous ap-prend qu’elle est une fonction dérivée élémentaire.(Voy . Logarithmes, ii.)

61. Quant à la seconde des deux questions (56) pro-posées par la nature même de notre savoir, il est encoreévident que les fonctions exponentielles, qui appartien-nent entièrement à l’algorithme de la graduation, luirépondent d’une manière complète. En effet, si a et msont des quantités constantes, on aura la fonction expo-nentielle

fX = a mx

qui donne

x g .<fX,.fx 3 .etc.=a mx i.a mX .a mx }.elc. =«"»(*,+*,+xs+»tc.)et, conséquemment,

<fx,.<fx,.<fx 3 . etc. = fx^x.-^-x,-^- etc.)

Ainsi, en considérant les fonctions exponentiellesdans toute leur généralité , la seconde des deux ques-tions rationnelles dont il s’agit, la transition des facul-és à la numération , ne donnerait lieu à aucun algo-rithme nouveau. Il ne pourrait donc s’en trouver ici quedans le cas particulier où l’exposant m recevrait une va-eur qui placerait les fonctions exponentielles hors dela classe des puissances ordinaires et susceptibles d’unesignification immédiate. Cecas a lieu effectivement lors-que l’exposant m est imaginaire , et particulièrementlorsqu’on a m=\/ — i. ( Introd. pag. i5.)

6a. Pour déterminer la nature de la fonction trans-cendante

fX —

observons que nous avons en général, z étant unnombre quelconque et Lz son logarithme naturel,

z = 1 + 7 • Lz + ~ ( Lz )’ + 7-^-3 ( Lz ) 3 + etc-{Voy. Logarithme , i5), et par conséquent, (i)

„— . La — L’a L 3 a , —

a*V—i =1 -1 - ,x\y — 1- x* - ~x 3 , V/— 1 +etc.

1 I V 1.2 1.2.3

en faisant a x V—i = z, d’où x \/—1 .La =Lz.

L’expression (t) se trouve composée de deux suites,l’une réelle , l’autre imaginaire. En désignant par Fxla première de ces suites et par fx la somme des coeffi-cieus de \/—1 , on a

Fx

_ (La )’.® 1

(L a)«.x<1.2.3-4

(La) 6 .x 61.2.3.4.5.6

+ etc.

fx = L a.x

(La) 3 .x 3

1.2.3

(La) 5 .x 5

1.2.3.4.5

_ (L a)7.x7

1.2.34.5.6.7

Ainsi la nature de la fonction </ x en question seradonc.

fx = Fx fe '\/— 1

dans laquelle les deux quantités Fx et fx sont deuxfonctions déterminées de x, susceptibles de valeursréelles.

Mais à cause du double signe ± du radical qui entred’une manière générale dans les fonctions yx, on a lesdeux relations

Fx -j- fa-V — 1 = et+ x V—i.

Fx— J x -V — 1 ~ a~*V—i

lesquelles donnent

x = ~ . | a+ x ^—‘ -j- a~ x V—i |

fx = ïïÿbr I a+i ^ :rr - !

Tellessontdonc définitivement les fonctions nouvelle*susceptibles de valeurs réelles, qui sont impliquées dansla fonction yx en question. La dernière de ces fonctionsest ce qu’on appelle sinus et la première ce qu’on nom-me cosinus. (Pour plus de détails, voy . Sinus.)

Ainsi les fonctions nommées en général sinus son 1des fonctions algorithmiques élémentaires ; et la Théo-rie ues sinus forme une des branches nécessaires de l’ai-gorithinic.

63. Jusqu’ici nous n’avons considéré la théorie algo'rithmique élémentaire que sous le point de vue traits-