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et c’est sur ces deux schémas identiques que sont fon-dées les puissances et les racines.

Les nombres C et B pouvant être des nombres quel-conques, la génération du nombre A suivant le schéma (g)reçoit en certains cas une détermination nouvelle etplus intellectuelle encore que celle qui, dans la théoriede la reproduction , donne naissance aux nombres frac-tionnaires. En effet, d’après (/) , le schéma philosophi-que de cette génération est (h)

ao

B

A- = (i + •

Or, avec la possibilité de la génération intellectuelledu nombre A, on voit dans ce dernier schéma que lagénération sensible de ce nombre, en la considérant engénéral, est nécessairement indéfinie. C’est cette géné-ration indéfinie, provenant, de l’influence régulative et•ntellectuelle de la raison dans le domaine sensible del’entendement, qui est le caractère distinctif des nom-bres nommés nombres irrationnels. (Introd . pag, 164-)Quant à la fonction particulière du nombre B dansles deux relations réciproques (e) et (g), elle est vérita-blement la même que celle du nombre B dans les deuxrelations réciproques (c) et (d) de la reproduction. Elleconsiste dans la qualité positive ou négative de l'expo-sant de graduation de ce nombre.

Les relations réciproques (e) et (g) présentent un cassingulier, c’est celui où , C étant un nombre négatif,b est un nombre pair. Il en résulte que la génération dunombre A implique dans ce cas une opposition intel-lectuelle ou une antinomie , comme on le dit dans laphilosophie transcendantale. — « Cette antinomie pro-vient de ce que le schéma philosophique ( f ) qui est lePrincipe ou le fondement de la-possibilité de l’algorith-me de la graduation, ne porte que sur la génération dela quantité du nombre ni, laquelle, prise en géuéral, estréellement susceptible d’une continuité indéfinie ; tandisque la qualité de ce nombre, comme produite essentiel-lement et exclusivement par l’algorithme de la somma-tl ‘°n, implique nécessairement la discontinuité qui estle caractère de ccdernieralg irithme, c’est-à-dire qu’elle'niplique nécessairement l’opposition discontinue del’é-lat po itifà l’état négatif du nombre m. Et. en effet, lors-il s’agit d’un nombre négatifC , produit par la géné-ra hon de graduation A”, on ne peut, en supposant lenombre A réel, considéi •er indifféremment l'exposant Bcomme Un nombre pair ou impair, parce que ce seraitSu Pposer, à la génération du nombre négatif C , unec °ntiuuité indéfinie qu’il n’a point réellement. —Tou-tefois ce qui n’est pas possible en réalité , dans le do-mine sensible de l’entendement , l’est au moins en, dans le domaine intellectuel delà raison; et cette

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dernière faculté ne se désiste point, autant qu’il est enelle , de ramener toutes les fonctions algorithmiques àla loi de continuité indéfinie, ou, en général, à la loi del’absolu, » ( Introd. pag. i65.)

Les nombres corrcsponduns à la.génération idéale

2 n

V^G

sont ceux que l’on nomme très-inexactement nombresimaginaires. [Voy. Imaginaire.)'

58. Passons aux fonctions algorithmiques dérivées.Nous avons dit (Math . 4) qu’il en existe deux seulementdont là- dérivation est-nécessaire, et que cette nécessitéfait ranger au nombre des algorithmes élémentaires.Peu de mots suffiront ici pour compléter leur déduc-tion.

Les trois algorithmes primitifs paraîtraient admettrequatre dérivations nécessaires correspondantes aux qua-tre manières différentes dont ils peuvent être combinésentre eux , en les prenant d’abord deux à deux , et en-suite tous les trois. Mais en considérant, en particulier,la nature de ces algorithmes , on voit aisément que lacombinaison de l’algorithme delà sommation avec celuide la graduation se trouve déjà dans l’origine de l’al-gorithme de reproduction; de sorte qu’il ne reste decombinaisons réellement différentes , que celles de l’al-gorithme de la reproduction avec les algorithmes res-pectifs de la sommation et de la graduation. Ce sont cescombinaisons qui produisent les deux algorithmes élé-mentaires dérivés que l’on nomme la numération etles facultés. {Voy. Math. 4-)

5g. Ces deux algorithmes dérivés viendraient clorela partie élémentaire de la théorie de l’algorillimie,s’il ne se trouvait dans la nature de la.numération et desfacultés le principe d’une conséquence ultérieure etégalement nécessaire. Ce principe consiste en ce què lareproduction, qui est commune à ces deux algorithmesdérivés, établit entre eux une liaison, une espèce d’u-nité ; d’où résulte , comme conclusion nécessaire , laproposition, du moins problématique, de la transitionde la théorie de la numération à celle des facultés , etréciproquement de la théorie des facultés à celle de lanumération. Les schémas de ces deux questions néces-saires , qui doivent définitivement terminer le systèmede tous les algorithmes élémentaires possibles pourl’homme, sont :

1° Transition de la numération aux facultés ,

<fX, -j- y.r. + <p.r 3 -f- etc. = <f{x T .x t .x i . etc.);

o° Transition des facultés à la numération.,

• ? x , • ? x s • etc - = ?( x , + x ,+ -f etc,)■

en désignant par x,, x t , x t , etc., des quantité- varia-