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En égalant cette dernière valeur à o, on n’en peutrien conclure pour la valeur de x , mais en la faisantégale à co on en tire x = c. C’est l’abscisse d un pointde rebroussement; car, en la substituant dans dy , on

trouve ^ =

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—oo, ce qui nous apprend que l’ordonnée

correspondante est un maximum, La courbe de l’équa-tion proposée est celle de la fig. 3.

Pour distinguer un point de rebroussement, tel quecelui dont nous venons de nous occuper, du point x dela courbe fig. i , il faudra reconnaître la nature de lacourbe en discutant L's valeurs de y aux environs dece point.

On nomme en général points multiples ceux où plu-sieurs branches d’une même courbe se réunissent ou serencontrent, et particulièrement points doubles, tri-ples , etc., selon le nombre des branches.

Pour examiner les caractères auxquels on peut re-connaître ces points, soit nom'zri'm (PI. 53 , fig. 9)une courbe dont deux branches au moins se coupentau point o. Il est "évident que pour chaque abscisse■^P = x, il répond, excepté au point o,un certainnombre de valeurs P/n, Pmi' pour l’ordonnée y , c’est-à-dire que l’équation de la courbe devant être telle qu’àchaque abscisse répondent plusieurs ordonnées, le*diverses ordonnées du point 0 sont égales entre elles.

•Do même A y étant l’axe des ordonnées, il faut qu’àchaque ordonnée k.q, répondent généralement plusieursabscisses qn" , qn' , qn , et que celles qui répondent auxbranches qui doivent se rencontrer deviennent égalesa ce point de rencontre.

Donc si l’on représente par a la valeur de x et par bcelle de y qui conviennent au point multiple, l’équa-tion de la courbe doit être telle que lorsqu’on mettraa pour x on trouve pour y autant de valeurs égales àb qu’il y a de branches qui passent par le point mul-tiple , et que lorsqu’on y mettra b pour y } on trouve unmême nombre de valeurs a pour x.

Il suit de là que la forme générale de l’équationd’une telle courbe est (1)

Or, en prenant les différentielles successives de l’é-quation (1), il est visible que celle de l’ordre m 11ccontiendra plus aucun terme affecté des facteurs x — a ,x—b ; tandis que toutes celles des degrés inférieurscontiendront nécessairement ces mêmes facteurs. Donc,lorsqu’il y a un point multiple les différentielles pre-mières, secondes, etc., doivent s’anéantir toutes lors-qu’on y fait x = a et x = b, excepté celle dont l’ordreest marqué par m.

11 en résulte i° qu’au point multiple on ne peut avoir

dv

la valeur de la dérivée exprimée autrement que par

^ , si ce 11’est par la dernière équation différentielle;

2 0 qu’on obtient la dernière équation différentielle endifférentiant la proposée m fois de suite.

Ainsi pour trouver les valeurs de x et dey qui ré-pondent aux points multiples dans les courbes qui ontde tels points, il faut différentier l’équation de la courbe,

en tirer la valeur de ^ , et égaler ensuite séparément

à zéro le numérateur et le dénominateur de cette quan-tité. Pour s’assurer ensuite s’il existe véritablement unpoint multiple, on substituera les valeurs trouvées pourx et y dans l’équation de la courbe , car dans ce cas ellesdoivent satisfaire à cette équation.

Pour connaître ensuite le degré de multiplicité dupoint, on différentiera successivement l’équation de lacourbe jusqu’à ce que la substitution des valeurs trou-vées n’anéantisse plus tous les termes de l’équation dif-férentielle. Alors le nombre des différentiations qu’ilaura fallu faire pour arriver à ce résultat sera le nom-bre de multiplicité du point.

Proposons-nous, par exemple, de trouver, s’il y en a,les points multiples de la courbe dont l’équation est

y* — axy % -j- bx 3 -- 6.On obtient en différentiant

I\y 3 dy — a axydy — ay 2 dx -(- 3 bx'dx = o,

A (x— a) m -j- B (x—rt) m—1 [y — b)

C (x— a) m —» [y — b) % -)- etc.... -}- Z {y — b) m s= 0

,n i exprimant le degré de multiplicité du point enquestion , et A., B, C, etc., étant des fonctions quel-conques de x et de^.

n effet, si p on fait x= a, l’équation se réduit àZ ( y — Vf 1 = o

équation qui a m i ac i ncs = 5; et si l’on fait y = b,elle devient

A (x— a) m — o

équation qui a également m racines x= «.

d’où

dy __ 4 r 3 — 3ax/dx 3 tx* — ay x

faisant donc

4 y 3 — 2axy— o , 3 bx' — ay' = ola première équation donne

y = o, et y — tîV

La valeur y = o, substituée dans la seconde équa-tion donne 3 bx =a o , d’où x = o. Or, les deux valeur»x = o, y = o satisfont à la proposée ; ainsi la courba