,-uo po

a un point multiple dans l’endroit de ces valeurs, c’est-à dire à l’origine des coordonnées.

Quant à la seconde valeur y = \ \fax , en la substi-tuant dans 3 bx' — ay 1 = o , on a

3ôx* — - a'x = o

qui donne

a*

x = o, et or =

mais les valeurs y = \\/ax et x — o , ou y = \\/ax

et x — ne satisfont pas à la proposée ; ainsi il

u’y a d’autre point multiple que celui qui est à l’origine.

Pour connaître le nombre de multiplicité de cepoint,différentious une secoude fois la proposée, en considé-rant dx et dy comme constants, nous obtiendrons

1 iy'. dy % — lax. dy '— ’iay. dxdy — 2 aydxdy -f- Gbxclx 1

dont tous les termes s’anéantissent en faisant x = o ety = o. Différentions une troisième fois, nous aurons

24 ydy 3 — 2 adxdy' — ladxdy *— ladxdy' -f- 6 bdx 3

qui se réduit à

6 bdx 3 — GaJxdy*

en faisant x = o , y =0. Comme cette différentielletroisième ne s’anéantit pas , le point en question est unpoint triple. La forme de la courbe à laquelle il appar-tient est celle de la fig. 10.

La théorie des points singuliers contient encore ungrand nombre de cas remarquables pour lesquels nousdevons renvoyer à Y Analyse des lignes courbes de Cra-mer, et au Traité de calcul différentiel de Lacroix.

POISSONS. (At.)Nom du douzième signe du zodia-que , marqué )( , et d’une constellation composée de113 étoiles, dans le catalogue de Flamsteed. Des deuxpoissons qui forment cette constellation, l’un est appeléseptentrional et l’autre méridional.

POISSON AUSTRAL , {dsl.) Constellation méri-dionale qui renferme une étoile de première grandeurnommé fomalhaut. Elle est composée de 14 étoiles dansle catalogue de Flamsteed.

POISSON "VOLANT. (Ast.) Petite constellation mé-ridionale introduite par Bayer. (Voy. Constellation.)

POLAIRE. ( Ast .) Se dit en général de tout ce quia rappoitaux pôles du monde.

L’ étoile polaire est la dernière étoile de la queue dela petite ourse, elle fut ainsi nommée par les premiersobservateurs qui remarquèrent que le ciel paraît tour-nei autour du point qu’elle occupe. Elle est eu effet

PO

si près du pôle, que le petit cercle qu’elle décrit estpresque insensible , de sorte qu’on la voit toujours versle même point du ciel ; cependant la distance de cetteétoile au pôle change annuellement. ( Voy . Precession .)

On nomme cercles polaires, deux petits cercles de lasphère voisins des pôles. {Voy. Armillaire, 21.)

En géométrie , lorsqu’on rapporte une courbe à unpoint fixe d’où l'on fait partir toutes les ordonnées, l’é-quation qui exprime la relation entre ces ordonnées etleurs distances angulaires à l’axe prend le nom d’EQUA-tion polaire, parce qu’011 considère ce point fixe commeun pôle.

Pour fixer les idées , considérons une courbe MN(PI. 53, fig. 12), et un point arbitraire P, pris pour pôle.Si de ce point on mène d’abord une droite AB qui re-présente l’axe, puis des ordonnées Px, Px', Px", etc. ,à tous les points de la courbe, il est évident que si l’onétablit une relation générale entre uue ordonnée quel-conque Px et l’angle xPB qu’elle fait avec l’axe, cetterelation ayant lieu pour tous les points de la courbe ,représentera cette courbe tout aussi bien que celle quipeut exister entre ses coordonnées rectilignes.

Les ordonnées particulières Px, Px' etc., prennentle nom de rayons vecteurs. Ces rayons et les anglesqu’ils font avec l’axe se nomment coordonnées polaires.

Lorsqu’on connaît l’équation d’une courbe encoordonnées rectilignes, on peut aisément trouver sonéquation en coordonnées polaires et vice versa. Nousallons indiquer le procédé de cette transformation.

SoitMN (PI. 53, fig. 13), une courbe quelconquerap-portée aux axes coordonnées AX , AY faisant entre euxun angle quelconque, et dont l’équation soit

f{x,y) = o,

/ désignant une fonction quelconque des abscisses x etdes coordonnées y. Soit de plus P le point pris pourpôle et AB l’axe des coordonnées polaires.

Désignons par a et b les coordonnées rectilignes dupoint P, c’est-à-dire faisons AC=a, et CP — b) etpar a, l’angle des axes AXet AY.

Du point P, menons les droites PX' et PY' parallèlesaux axes , et le rayon Pz ; désignons ce rayon vecteurpar z ; l’angle zPB qu’il fait avec son axe , par v , etl’angle BPX'par ]3.

Nous avons f-

AD ou x = AB -)- CD = a -j- PE

DZ ou y = DE Ez = b -j- Ez.

Or, ou a dans le triangle zPE. (Voy. Trigonom.)

PE : Pz : : sin PzE : sin PEz

Ez : Pz : : sin zPE : sin PEz