PO
C’est ainsi que considérant les progressions arithméti-ques :
G
2,
3,
4,
5,
6,
7>
B,
9.
10,
etc.
G
3,
5,
7»
9.
•G
,3,
i5,
'7»
•9>
etc.
G
4,
7>
10,
i3,
16,
*9.
22,
25,
28,
etc.
G
5,
9>
,3,
1 7’
21,
25,
29,
33,
3 7,
etc.
1,
6,
'G
’6,
2G
26,
3g
36,
4g
46,
etc.
leurs sommes consécutives donnent :
Nomb. triang. i, 3, 6, 10, 15, eu, 28, 36, etc.
Nomb. (juad. 1, 4, 36, 49’ 64, ctc>
Nomb pentag. 1, 5, 12, 22, 35, 5i, 70, 92, etc.
Nomb. hexag. 1, 6, i5, 28, l\5, 66 . 9G 120 j e * c -
Nomb. heptag. 1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, etc.
Ea dénomination de nombres polygones semble avoircte donnée à ces nombres parce qu’ils peuvent être re.Présentés par des figures particulières. Ainsi, les noni-kres triangulaires ont cette propriété qu’on peut dispo-ser en triangle autant de points qu’ils contiennent d’uni-* cs > en prenant un point pour le plus petit triangle; demême les points indiqués par les nombres rjuadrangu-laires ou carrés peuvent être disposés en carrés, enprenant un point pour le plus petit carré, etc. Parexemple, on a
. . . . . etc.
1 , 3 , 6 etc.
. . . . . . etc.
1 » 4 , 9 » etc.
Si nous exprimons par m —2 la différence de la pro-gression arithmétique, les nombres polygones qu’elleproduit seront de l’ordre m goncs , et pour cal-culer celui de ces nombres qui répond au rang n , oudont l’indice est n, nous aurons l’expression générale(a),
(th— 2)n 1 — (m— 4)«
- ,
cette formule représentant la somme des n premiers
termes de la progression arithmétique. ( Voy. Prog. )Nous avons donc en particulier , en désignant par xn ième nombre polygone, pour les
Nombres triangulaires, x =
carrés . x — K 1
3 n *—n
pentagones .. x — —-—
, 4 «*— %n
hexagones .. x = -g-—
etc.... etc....
PO 545
L’indice d’un nombre polygone , ou le rang qu’iloccupe dans la série, se nomme sa racine. Fermât, dansune de scs notes sur Diophante , a donné plusieurs rè-gles particulières pour trouver la racine d’un nombrepolygone donné, sans avoir recours à l'extraction de iaracine carrée que comprend l’expression grnéiale ,
n __ m — 4 ± y /[ 2 x(m —2) — (m — 41 ’]
•im — 4
qu’on tire de (a).
Les sommes consécutives des nombres polygonessont appelées nombres pyramidaux. ( Voy. Pyramidat..)
POLYGONOMÉTRIE. branche de la géométiiequi a pour objet les polygones en général , comme latrigonométrie a pour objet les triangles en particulier.
Cette extension des règles de lu trigonométrie est dueà lTTuillier qui a publié à Genève , eu 1789, un traitésur ce sujet. Nous devons citer le beau théorème sui-vant qu’on trouve dans cet ouvrage.
Si nous désignons para, b, c, d, etc. , les côtésconsécutifs d’un polygone quelconque et par A , B, C ,D, etc., les angles également consécutifs, de manière queA est l’angle formé par les côtés a et b ; B, l’angle formépar les côtés b et c, etc, nous aurons pour le double dela surface du polygone, l’expression
a.ôsinA—n.csin (A-j-B)-f- a.c/.sin(A-f-B-j-C) — etc.-\-b. c sinB— b. d sin( B-j-C) -f- b. c. si n(B-f-C-J-D) — etc.-|-c. eésinC— c.e sin (C-j-D)-(- c /. sin (C-|-D-(-E) — etc.-(-etc.
dans laquelle tous les côlésdoivent être combinés deuxà deux , excepté le dernier ou celui qui vient rencon-trer a. Par exemple, pour un quadrilatère, on a
1 a.b .sin A— a.c .sin (A-(-B)
-|-ô.esinB
Pour un pentagone
( n.ô.sin A— a.c.sin (A+B)
--- i _|_fc.c.sinB
I — ô.cLsin(B-)-C)
\ -f- c.e?.sin C.
Voy. l’Huillicr, ^rai té ae polygonomctrie.
U
TOME n,